En matemáticas , la desigualdad de Gårding es un resultado que da un límite inferior para la forma bilineal inducida por un operador diferencial parcial elíptico lineal real . La desigualdad lleva el nombre de Lars Gårding .
Declaración de la desigualdad
Deje Ω ser un delimitada , dominio abierto en n - dimensional espacio euclidiano y dejar H k (Ω) denota el espacio de Sobolev de k -los tiempos débilmente funciones diferenciables u : Ω → R con derivados débiles en L 2 . Suponga que Ω satisface la propiedad k -extension, es decir, que existe un operador lineal acotado E : H k (Ω) → H k ( R n ) tal que ( Eu ) | Ω = u para todo u en H k (Ω).
Sea L un operador diferencial parcial lineal de orden par 2k , escrito en forma de divergencia
y suponga que L es uniformemente elíptica, es decir, existe una constante θ > 0 tal que
Finalmente, suponga que los coeficientes A αβ son funciones acotadas y continuas en el cierre de Ω para | α | = | β | = k y eso
Entonces se cumple la desigualdad de Gårding : existen constantes C > 0 y G ≥ 0
dónde
es la forma bilineal asociada al operador L .
Aplicación: el operador de Laplace y el problema de Poisson
Tenga cuidado, en esta aplicación, la Desigualdad de Garding parece inútil aquí, ya que el resultado final es una consecuencia directa de la Desigualdad de Poincaré, o Desigualdad de Friedrich. (Ver charla sobre el artículo).
Como ejemplo simple, considere el operador de Laplace Δ. Más específicamente, suponga que uno desea resolver, para f ∈ L 2 (Ω) la ecuación de Poisson
donde Ω es un dominio de Lipschitz acotado en R n . La forma débil correspondiente del problema es encontrar u en el espacio de Sobolev H 0 1 (Ω) tal que
dónde
El lema de Lax-Milgram asegura que si la forma bilineal B es tanto continua como elíptica con respecto a la norma en H 0 1 (Ω), entonces, para cada f ∈ L 2 (Ω), debe existir una solución única u en H 0 1 (Ω). Las hipótesis de la desigualdad de Gårding son fáciles de verificar para el operador de Laplace Δ, por lo que existen constantes C y G ≥ 0
La aplicación de la desigualdad de Poincaré permite combinar los dos términos del lado derecho, obteniendo una nueva constante K > 0 con
que es precisamente la afirmación de que B es elíptica. La continuidad de B es aún más fácil de ver: simplemente aplique la desigualdad de Cauchy-Schwarz y el hecho de que la norma de Sobolev está controlada por la norma L 2 del gradiente.
Referencias
- Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales . Textos en Matemática Aplicada 13 (Segunda ed.). Nueva York: Springer-Verlag. pag. 356. ISBN 0-387-00444-0. (Teorema 9.17)