En la teoría de ecuaciones diferenciales parciales , los operadores elípticos son operadores diferenciales que generalizan el operador de Laplace . Se definen por la condición de que los coeficientes de las derivadas de orden superior sean positivos, lo que implica la propiedad clave de que el símbolo principal es invertible o, de manera equivalente, que no existen direcciones características reales .
Los operadores elípticos son típicos de la teoría del potencial y aparecen con frecuencia en la electrostática y la mecánica del continuo . La regularidad elíptica implica que sus soluciones tienden a ser funciones suaves (si los coeficientes en el operador son suaves). Las soluciones en estado estacionario para ecuaciones hiperbólicas y parabólicas generalmente resuelven ecuaciones elípticas.
Definiciones
Dejar ser un operador diferencial lineal de orden m en un dominioen R n dado por
dónde denota un índice múltiple , y denota la derivada parcial de orden en .
Luego se llama elíptica si para cada x en y todo distinto de cero en R n ,
dónde .
En muchas aplicaciones, esta condición no es lo suficientemente fuerte y, en cambio , se puede imponer una condición de elipticidad uniforme para operadores de orden m = 2k :
donde C es una constante positiva. Tenga en cuenta que la elipticidad solo depende de los términos de orden más alto . [1]
Un operador no lineal
es elíptica si su linealización es; es decir, la expansión de Taylor de primer orden con respecto a u y sus derivadas sobre cualquier punto es un operador elíptico.
- Ejemplo 1
- El negativo del laplaciano en R d dado por
- es un operador uniformemente elíptico. El operador de Laplace ocurre con frecuencia en electrostática. Si ρ es la densidad de carga dentro de alguna región Ω, el potencial Φ debe satisfacer la ecuación
- Ejemplo 2
- Dada una función de valores matriciales A (x) que es simétrica y definida positiva para cada x , que tiene componentes a ij , el operador
- es elíptica. Esta es la forma más general de un operador diferencial elíptico lineal de forma de divergencia de segundo orden. El operador de Laplace se obtiene tomando A = I . Estos operadores también ocurren en electrostática en medios polarizados.
- Ejemplo 3
- Para p un número no negativo, el p-Laplaciano es un operador elíptico no lineal definido por
- Un operador no lineal similar ocurre en la mecánica de los glaciares . El tensor de tensión de Cauchy del hielo, de acuerdo con la ley de flujo de Glen, está dado por
- para alguna constante B . La velocidad de una capa de hielo en estado estable resolverá el sistema elíptico no lineal
- donde ρ es la densidad del hielo, g es el vector de aceleración gravitacional, p es la presión y Q es un término de forzamiento.
Teorema de regularidad elíptica
Sea L un operador elíptico de orden 2k con coeficientes que tienen 2k derivadas continuas. El problema de Dirichlet para L es encontrar una función u , dada una función f y algunos valores de frontera apropiados, tales que Lu = fy tal que u tenga los valores de frontera apropiados y derivadas normales. La teoría de existencia para operadores elípticos, utilizando la desigualdad de Gårding y el lema Lax-Milgram , solo garantiza que existe una solución débil u en el espacio de Sobolev H k .
Esta situación es, en última instancia, insatisfactoria, ya que la solución débil u puede no tener suficientes derivadas para que la expresión Lu tenga sentido.
El teorema de la regularidad elíptica garantiza que, siempre que f sea integrable al cuadrado, u tendrá de hecho 2k derivadas débiles integrables al cuadrado. En particular, si f es infinitamente diferenciable, entonces también lo es u .
Cualquier operador diferencial que exhiba esta propiedad se denomina operador hipoeliptico ; por tanto, todo operador elíptico es hipoelíptico. La propiedad también significa que toda solución fundamental de un operador elíptico es infinitamente diferenciable en cualquier vecindario que no contenga 0.
Como una aplicación, suponga una función satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann . Dado que las ecuaciones de Cauchy-Riemann forman un operador elíptico, se deduce que es suave.
Definición general
Dejar ser un operador diferencial (posiblemente no lineal) entre paquetes vectoriales de cualquier rango. Toma su símbolo principal con respecto a una forma única . (Básicamente, lo que estamos haciendo es reemplazar las derivadas covariantes de mayor orden por campos vectoriales .)
Decimos es débilmente elíptica sies un isomorfismo lineal para todo distinto de cero.
Decimos es (uniformemente) fuertemente elíptica si para alguna constante,
para todos y todo . Es importante señalar que la definición de elipticidad en la parte anterior del artículo es fuerte elipticidad . Aquíes un producto interior. Note que el son campos de codificador o de una forma, pero el son elementos del paquete de vectores sobre los que hechos.
El ejemplo por excelencia de un operador (fuertemente) elíptico es el laplaciano (o su negativo, según la convención). No es dificil ver esodebe ser uniforme para que la elipticidad fuerte sea una opción. De lo contrario, solo considere conectar ambosy su negativo. Por otro lado, un operador de primer orden débilmente elíptico, como el operador de Dirac, puede cuadrar para convertirse en un operador fuertemente elíptico, como el laplaciano. La composición de los operadores débilmente elípticos es débilmente elíptica.
No obstante, la elipticidad débil es lo suficientemente fuerte para la alternativa de Fredholm , las estimaciones de Schauder y el teorema del índice de Atiyah-Singer . Por otro lado, necesitamos una elipticidad fuerte para el principio máximo y para garantizar que los valores propios sean discretos y que su único punto límite sea el infinito.
Ver también
Notas
- ^ Tenga en cuenta que esto a veces se llama elipticidad estricta , con elipticidad uniforme que se usa para significar que también existe un límite superior en el símbolo del operador. Es importante comprobar las definiciones que utiliza el autor, ya que las convenciones pueden diferir. Véase, por ejemplo, Evans, Capítulo 6, para un uso de la primera definición, y Gilbarg y Trudinger, Capítulo 3, para un uso de la segunda.
Referencias
- Evans, LC (2010) [1998], Ecuaciones diferenciales parciales , Estudios de posgrado en matemáticas , 19 (2ª ed.), Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4974-3, MR 2597943
Revisar:
Rauch, J. (2000). "Ecuaciones diferenciales parciales, por LC Evans" (pdf) . Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense . 37 (3): 363–367. doi : 10.1090 / s0273-0979-00-00868-5 . - Gilbarg, D .; Trudinger, NS (1983) [1977], Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 224 (2.a ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13025-3, MR 0737190
- Shubin, MA (2001) [1994], "Operador elíptico" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
enlaces externos
- Ecuaciones elípticas lineales en EqWorld: el mundo de las ecuaciones matemáticas.
- Ecuaciones elípticas no lineales en EqWorld: el mundo de las ecuaciones matemáticas.