En matemáticas , un dominio de Lipschitz (o dominio con límite de Lipschitz ) es un dominio en el espacio euclidiano cuyo límite es "suficientemente regular" en el sentido de que se puede pensar que es localmente el gráfico de una función continua de Lipschitz . El término lleva el nombre del matemático alemán Rudolf Lipschitz .
Definición
Dejar . Dejarser un dominio de y deja denotar el límite de. Luegose llama dominio de Lipschitz si para cada punto existe un hiperplano de dimensión mediante , una función continua de Lipschitz sobre ese hiperplano, y reales y tal que
dónde
- es un vector unitario que es normal a
- es la bola abierta de radio ,
En otras palabras, en cada punto de su límite, es localmente el conjunto de puntos ubicados sobre el gráfico de alguna función de Lipschitz.
Generalización
Una noción más general es la de dominios débilmente Lipschitz , que son dominios cuyo límite es localmente plano mediante un mapeo bilipschitz. Los dominios de Lipschitz en el sentido anterior a veces se denominan fuertemente Lipschitz en contraste con los dominios débilmente Lipschitz.
Un dominio es débilmente Lipschitz si por cada punto existe un radio y un mapa tal que
- es una biyección ;
- y son funciones continuas de Lipschitz;
dónde denota la bola unitaria en y
Un dominio (fuertemente) de Lipschitz es siempre un dominio de Lipschitz débil, pero lo contrario no es cierto. Un ejemplo de dominios débilmente Lipschitz que no puede ser un dominio fuertemente Lipschitz lo da el dominio de dos ladrillos [1]
Aplicaciones de los dominios de Lipschitz
Muchos de los teoremas de incrustación de Sobolev requieren que el dominio de estudio sea un dominio de Lipschitz. En consecuencia, muchas ecuaciones diferenciales parciales y problemas variacionales se definen en los dominios de Lipschitz.
Referencias
- ^ Werner Licht, M. "Proyecciones suavizadas sobre dominios débilmente Lipschitz" , arXiv , 2016.
- Dacorogna, B. (2004). Introducción al cálculo de variaciones . Imperial College Press, Londres. ISBN 1-86094-508-2.