En matemáticas , la desigualdad de Poincaré [1] es un resultado de la teoría de los espacios de Sobolev , que lleva el nombre del matemático francés Henri Poincaré . La desigualdad permite obtener límites en una función utilizando límites en sus derivadas y la geometría de su dominio de definición. Tales límites son de gran importancia en los métodos modernos y directos del cálculo de variaciones . Un resultado muy relacionado es la desigualdad de Friedrichs .
Declaración de la desigualdad
La clásica desigualdad de Poincaré
Sea p , de modo que 1 ≤ p <∞ y Ω un subconjunto limitado al menos en una dirección. Entonces existe una constante C , que depende solo de Ω y p , de modo que, para cada función u del espacio de Sobolev W 0 1, p (Ω) de funciones de traza cero,
Desigualdad de Poincaré-Wirtinger
Suponga que 1 ≤ p ≤ ∞ y que Ω es un subconjunto abierto conectado acotado del espacio euclidiano n - dimensional R n con un límite de Lipschitz (es decir, Ω es un dominio de Lipschitz ). Entonces existe una constante C , que depende solo de Ω y p , tal que para cada función u en el espacio de Sobolev W 1, p (Ω),
dónde
es el valor medio de u sobre Ω, con | Ω | que representa la medida de Lebesgue del dominio Ω. Cuando Ω es una bola, la desigualdad anterior se llama desigualdad (p, p) -Poincaré; para dominios más generales Ω, lo anterior se conoce más familiarmente como desigualdad de Sobolev.
Generalizaciones
En el contexto de los espacios de medidas métricas (por ejemplo, variedades sub-Riemannianas), tales espacios soportan una desigualdad (q, p) -Poincare para algunos si hay constantes C y de modo que por cada bola B en el espacio,
En el contexto de los espacios de medidas métricas, es el gradiente superior mínimo p-débil de u en el sentido de Heinonen y Koskela [J. Heinonen y P. Koskela, Mapas cuasiconformales en espacios métricos con geometría controlada, Acta Math. 181 (1998), 1–61]
Existen otras generalizaciones de la desigualdad de Poincaré a otros espacios de Sobolev. Por ejemplo, el siguiente (tomado de Garroni & Müller (2005) ) es una desigualdad Poincaré para el espacio de Sobolev H 1/2 ( T 2 ), es decir, el espacio de las funciones u en el L 2 espacio de la unidad de toro T 2 con Transformada de Fourier û satisfactoria
existe una constante C tal que, para todo u ∈ H 1/2 ( T 2 ) con u idénticamente cero en un conjunto abierto E ⊆ T 2 ,
donde cap ( E × {0}) denota la capacidad armónica de E × {0} cuando se considera un subconjunto de R 3 .
La constante de Poincaré
La constante óptima C en la desigualdad de Poincaré a veces se conoce como la constante de Poincaré para el dominio Ω. Determinar la constante de Poincaré es, en general, una tarea muy difícil que depende del valor de p y de la geometría del dominio Ω. Sin embargo, algunos casos especiales son manejables. Por ejemplo, si Ω es un dominio de Lipschitz acotado y convexo con diámetro d , entonces la constante de Poincaré es como máximo d / 2 para p = 1,para p = 2 ( Acosta y Durán 2004 ; Payne y Weinberger 1960 ), y esta es la mejor estimación posible de la constante de Poincaré en términos del diámetro solamente. Para funciones suaves, esto puede entenderse como una aplicación de la desigualdad isoperimétrica a los conjuntos de niveles de la función . [1] En una dimensión, esta es la desigualdad de funciones de Wirtinger .
Sin embargo, en algunos casos especiales, la constante C se puede determinar de forma concreta. Por ejemplo, para p = 2, es bien sabido que en el dominio del triángulo rectángulo isósceles unitario, C = 1 / π (< d / π donde). (Ver, por ejemplo, Kikuchi & Liu (2007) .)
Además, para un dominio sin problemas y delimitado , ya que el cociente de Rayleigh para el operador de Laplace en el espaciose minimiza por la función propia correspondiente al valor propio mínimo λ 1 del Laplaciano (negativo), es una simple consecuencia de que, para cualquier,
y además, que la constante λ 1 es óptima.
Ver también
Referencias
- ↑ Poincaré, H. (1890). "Sur les Equations aux Dérivées Partielles de la Physique Mathématique" . Revista Estadounidense de Matemáticas . 12 (3). Ecuación (11) página 253. doi : 10.2307 / 2369620 . ISSN 0002-9327 .
- Acosta, Gabriel; Durán, Ricardo G. (2004), "Una desigualdad de Poincaré óptima en L 1 para dominios convexos", Proc. Amer. Matemáticas. Soc. , 132 (1): 195–202 (electrónico), doi : 10.1090 / S0002-9939-03-07004-7
- Evans, Lawrence C. (1998), ecuaciones diferenciales parciales , Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2
- Kikuchi, Fumio; Liu, Xuefeng (2007), "Estimación de las constantes de error de interpolación para los elementos finitos triangulares P0 y P1", Comput. Métodos. Apl. Mech. Engrg. , 196 (37–40): 3750–3758, doi : 10.1016 / j.cma.2006.10.029 SEÑOR2340000
- Garroni, Adriana; Müller, Stefan (2005), "Γ-límite de un modelo de campo de fase de dislocaciones", SIAM J. Math. Anal. , 36 (6): 1943–1964 (electrónico), doi : 10.1137 / S003614100343768X SEÑOR2178227
- Leoni, Giovanni (2009), A First Course in Sobolev Spaces , Estudios de posgrado en matemáticas, American Mathematical Society, págs. Xvi + 607 ISBN 978-0-8218-4768-8 , SEÑOR2527916 , Zbl 1180.46001 , MAA
- Payne, LE; Weinberger, HF (1960), "Una desigualdad de Poincaré óptima para dominios convexos", Archivo de Mecánica Racional y Análisis : 286-292, doi : 10.1007 / BF00252910 , ISSN 0003-9527
- Heinonen, J .; Koskela, P. (1998), "Mapas cuasiconformales en espacios métricos con geometría controlada", Acta Mathematica : 1–61, doi : 10.1007 / BF02392747 , ISSN 1871-2509