En el campo matemático de la topología diferencial , el corchete de Lie de campos vectoriales , también conocido como corchete de Jacobi-Lie o conmutador de campos vectoriales , es un operador que asigna a dos campos vectoriales cualesquiera X e Y en una variedad suave M un tercero campo vectorial denotado [ X , Y ] .
Conceptualmente, el corchete de Lie [ X , Y ] es la derivada de Y a lo largo del flujo generado por X , y a veces se denota("Derivada de mentira de Y a lo largo de X"). Este generaliza a la derivada de Lie de cualquier campo tensor a lo largo del flujo generado por X .
El corchete de Lie es una operación R - bilineal y convierte el conjunto de todos los campos vectoriales suaves en la variedad M en un álgebra de Lie (de dimensión infinita) .
El corchete de Lie juega un papel importante en la geometría diferencial y la topología diferencial , por ejemplo en el teorema de integrabilidad de Frobenius , y también es fundamental en la teoría geométrica de los sistemas de control no lineales . [1]
Definiciones
Hay tres enfoques conceptualmente diferentes pero equivalentes para definir el corchete de Lie:
Campos vectoriales como derivaciones
Cada campo de vector suave en un colector M puede considerarse como un operador diferencial que actúa sobre funciones suaves (dónde y de clase ) cuando definimos ser otra función cuyo valor en un punto es la derivada direccional de f en p en la dirección X ( p ). De esta manera, cada campo de vector suave X se convierte en una derivación de C ∞ ( M ). Además, cualquier derivación en C ∞ ( M ) surge de un campo vectorial uniforme X único .
En general, el conmutador de dos derivaciones cualesquiera y es de nuevo una derivación, donde denota la composición de los operadores. Esto se puede utilizar para definir el corchete de Lie como el campo vectorial correspondiente a la derivación del conmutador:
Flujos y límites
Dejar sea el flujo asociado con el campo vectorial X , y sea D el operador derivado del mapa tangente . Entonces, el corchete de Lie de X e Y en el punto x ∈ M se puede definir como la derivada de Lie :
Esto también mide la falla del flujo en las direcciones sucesivas. para volver al punto x :
En coordenadas
Aunque las definiciones anteriores de corchete de Lie son intrínsecas (independientes de la elección de coordenadas en la variedad M ), en la práctica uno a menudo quiere calcular el corchete en términos de un sistema de coordenadas específico. Nosotros escribimos para la base local asociada del paquete tangente, de modo que los campos vectoriales generales se puedan escribir y para funciones suaves . Entonces el corchete de Lie se puede calcular como:
Si M es (un subconjunto abierto de) R n , entonces los campos vectoriales X e Y se pueden escribir como mapas suaves de la forma y , y el corchete de Lie es dado por:
dónde y son n × n matrices jacobianas ( y respectivamente usando la notación de índice) multiplicando el n × 1 vectores columna X y Y .
Propiedades
El corchete de Lie de los campos vectoriales equipa el espacio vectorial real de todos los campos vectoriales en M (es decir, secciones suaves del paquete tangente) con la estructura de un álgebra de Lie , lo que significa que [•, •] es un mapa con:
- R - bilinealidad
- Anti-simetría,
- Identidad Jacobi ,
Una consecuencia inmediata de la segunda propiedad es que para cualquier .
Además, existe una " regla de producto " para los brackets de Lie. Dado un suave (escalar de valor) la función f en M y un campo vectorial Y en M , se obtiene un nuevo campo vector fY multiplicando el vector Y x por el escalar f ( x ) en cada punto x ∈ M . Luego:
donde multiplicamos la función escalar X ( f ) con el campo vectorial Y , y la función escalar f con el campo vectorial [ X , Y ] . Esto convierte los campos vectoriales con el corchete de Lie en un algebroide de Lie .
La desaparición del corchete de Lie de X e Y significa que seguir los flujos en estas direcciones define una superficie incrustada en M , con X e Y como campos vectoriales de coordenadas:
Teorema: si los flujos de X e Y se desplazan localmente, lo que significapara todo x ∈ M y s suficientemente pequeño , t .
Este es un caso especial del teorema de integrabilidad de Frobenius .
Ejemplos de
Para un grupo de Lie G , el álgebra de Lie correspondiente es el espacio tangente a la identidad , Que se pueden identificar con el espacio vectorial de los campos de vectores invariantes a la izquierda en G . El corchete de Lie de dos campos vectoriales invariantes a la izquierda también se deja invariante, lo que define la operación de corchetes de Jacobi-Lie.
Para un grupo de Lie matricial, cuyos elementos son matrices , cada espacio tangente se puede representar como matrices: , dónde significa multiplicación de matrices e I es la matriz de identidad. El campo vectorial invariante correspondiente aes dado por , y un cálculo muestra el corchete de Lie en corresponde al conmutador habitual de matrices:
Aplicaciones
El soporte de Jacobi-Lie es esencial para demostrar la capacidad de control local a corto plazo (STLC) para sistemas de control afines sin deriva .
Generalizaciones
Como se mencionó anteriormente, la derivada de Lie puede verse como una generalización del corchete de Lie. Otra generalización del corchete de Lie (a formas diferenciales con valores vectoriales ) es el corchete de Frölicher-Nijenhuis .
Referencias
- ^ Isaías 2009 , págs. 20-21, sistemas no holonómicos ; Khalil 2002 , págs. 523–530, linealización por retroalimentación .
- "Soporte de mentira" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Isaiah, Pantelis (2009), "Estacionamiento controlado [Pregunte a los expertos]", IEEE Control Systems Magazine , 29 (3): 17–21, 132, doi : 10.1109 / MCS.2009.932394 , S2CID 42908664
- Khalil, HK (2002), Nonlinear Systems (3.a ed.), Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall , ISBN 0-13-067389-7
- Kolář, I., Michor, P. y Slovák, J. (1993), Operaciones naturales en geometría diferencial , Springer-VerlagCS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace ) Amplia discusión de los corchetes de Lie y la teoría general de las derivadas de Lie.
- Lang, S. (1995), variedades diferenciales y de Riemann , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94338-1 Para generalizaciones a infinitas dimensiones.
- Lewis, Andrew D., Notas sobre la teoría del control (no lineal) (PDF)[ enlace muerto permanente ]
- Warner, Frank (1983) [1971], Fundamentos de variedades diferenciables y grupos de Lie , Nueva York-Berlín: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90894-3