En la geometría de Riemann , el lema de Gauss afirma que cualquier esfera suficientemente pequeña centrada en un punto de una variedad de Riemann es perpendicular a toda geodésica a través del punto. Más formalmente, dejar que M sea una variedad de Riemann , equipada con su conexión de Levi-Civita , y p un punto de M . El mapa exponencial es un mapeo del espacio tangente en p a M :
que es un difeomorfismo en una vecindad de cero. El lema de Gauss afirma que la imagen de una esfera de radio suficientemente pequeño en T p M bajo el mapa exponencial es perpendicular a todas las geodésicas que se originan en p . El lema permite entender el mapa exponencial como una isometría radial , y es de fundamental importancia en el estudio de la convexidad geodésica y las coordenadas normales .
Definimos el mapa exponencial en por
dónde es la geodésica única con y tangente y se elige lo suficientemente pequeño para que para cada la geodésica se define en 1. Entonces, si está completo, entonces, por el teorema de Hopf-Rinow , se define en todo el espacio tangente.
Dejar ser una curva diferenciable en tal que y . Desde, está claro que podemos elegir . En este caso, por la definición del diferencial de la exponencial en aplicado sobre , obtenemos:
Entonces (con la identificación correcta ) el diferencial de es la identidad. Por el teorema de la función implícita, es un difeomorfismo en un barrio de . El Lema de Gauss ahora dice que también es una isometría radial.
Dejar . En lo que sigue, hacemos la identificación.
El lema de Gauss establece: Sea y . Luego,
Para , este lema significa que es una isometría radial en el siguiente sentido: sea , es decir, tal que está bien definido. Y deja. Entonces el exponencial sigue siendo una isometría en y, de manera más general, a lo largo de la geodesia (en la medida en está bien definido)! Entonces, radialmente, en todas las direcciones permitidas por el dominio de definición de, sigue siendo una isometría.
El mapa exponencial como isometría radial
Recordar que
Nosotros procedemos en tres pasos:
- : construyamos una curva
tal que y . Desde, podemos poner . Por lo tanto,
dónde es el operador de transporte paralelo y . La última igualdad es verdadera porque es una geodésica, por lo tanto es paralelo.
Ahora calculemos el producto escalar .
Nos separamos en un componente Paralelo a y un componente normal a . En particular, ponemos, .
El paso anterior implica directamente:
Por lo tanto, debemos mostrar que el segundo término es nulo, porque, según el Lema de Gauss, debemos tener:
- :
La curva elegida para probar el lema
Definamos la curva
Tenga en cuenta que
Pongamos:
y calculamos:
y
Por eso
Ahora podemos verificar que este producto escalar es realmente independiente de la variable , y por tanto que, por ejemplo:
porque, de acuerdo con lo que se ha dado anteriormente:
dado que el diferencial es un mapa lineal. Por tanto, esto demostrará el lema.
- Verificamos que : este es un cálculo directo. Dado que los mapas son geodésicas,
Dado que los mapas son geodésicas, la función es constante. Por lo tanto,