El principio de restricción mínima es una formulación variacional de la mecánica clásica enunciada por Carl Friedrich Gauss en 1829, equivalente a todas las demás formulaciones de la mecánica analítica.
Declaración
El principio de restricción mínima es un principio de mínimos cuadrados que establece que las verdaderas aceleraciones de un sistema mecánico de masas es el mínimo de la cantidad
donde la j- ésima partícula tiene masa , vector de posición y fuerza de no restricción aplicada actuando sobre la masa.
La notación indica la derivada en el tiempo de una función vectorial, es decir, posición. Las aceleraciones correspondientes satisfacer las restricciones impuestas, que en general depende del estado actual del sistema, .
Se recuerda el hecho de que debido a la activa y reactivo (restricción) fuerzas que se aplican, con la resultante , un sistema experimentará una aceleración .
Conexiones a otras formulaciones
El principio de Gauss es equivalente al principio de D'Alembert .
El principio de restricción mínima es cualitativamente similar al principio de Hamilton , que establece que el verdadero camino seguido por un sistema mecánico es un extremo de la acción . Sin embargo, el principio de Gauss es un principio mínimo verdadero (local) , mientras que el otro es un principio extremo .
Principio de curvatura mínima de Hertz
El principio de curvatura mínima de Hertz es un caso especial del principio de Gauss, restringido por las dos condiciones de que no hay fuerzas aplicadas externamente, no hay interacciones (que generalmente se pueden expresar como energía potencial ) y todas las masas son iguales. Sin pérdida de generalidad, las masas pueden igualarse a uno. En estas condiciones, la cantidad minimizada de Gauss se puede escribir
La energía cinética también se conserva en estas condiciones
Dado que el elemento de línea en el -se define el espacio dimensional de las coordenadas
la conservación de la energía también se puede escribir
Divisor por produce otra cantidad mínima
Desde es la curvatura local de la trayectoria en el-espacio dimensional de las coordenadas, minimización de es equivalente a encontrar la trayectoria de mínima curvatura (una geodésica ) que sea consistente con las restricciones.
El principio de Hertz es también un caso especial de la formulación de Jacobi del principio de mínima acción .
Ver también
Referencias
- Gauss, CF (1829). "Über ein neues allgemeines Grundgesetz der Mechanik" . Diario de Crelle . 1829 (4): 232–235. doi : 10.1515 / crll.1829.4.232 . S2CID 199545985 .
- Gauss, CF Werke . 5 . pag. 23.
- Hertz, H. (1896). Principios de Mecánica . Papeles varios. III . Macmillan.
- Lanczos, Cornelius (1986). "IV §8 Principio de mínima restricción de Gauss". Los principios variacionales de la mecánica (Reimpresión de la Universidad de Toronto 1970 4ª ed.). Mensajero Dover. págs. 106-110. ISBN 978-0-486-65067-8.
- Papastavridis, John G. (2014). "6.6 El Principio de Gauss (tratamiento extenso)". Mecánica analítica: un tratado completo sobre la dinámica de los sistemas restringidos (Reimpresión ed.). Singapur, Hackensack NJ, Londres: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. págs. 911–930. ISBN 978-981-4338-71-4.
enlaces externos
- [1] Una discusión moderna y una prueba del principio de Gauss.
- Principio de Gauss en la Enciclopedia de las matemáticas
- Principio de Hertz en la Enciclopedia de las matemáticas