En matemáticas , el producto triple de Jacobi es la identidad matemática:
para los números complejos x e y , con | x | <1 y y ≠ 0.
Fue introducido por Jacobi ( 1829 ) en su obra Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum .
La identidad del producto triple de Jacobi es la identidad de Macdonald para el sistema de raíces afines de tipo A 1 , y es la fórmula del denominador de Weyl para el álgebra afín de Kac-Moody correspondiente .
Propiedades
La base de la demostración de Jacobi se basa en el teorema del número pentagonal de Euler , que es en sí mismo un caso específico de la identidad del triple producto de Jacobi.
Dejar y . Entonces nosotros tenemos
El producto triple de Jacobi también permite escribir la función theta de Jacobi como un producto infinito de la siguiente manera:
Dejar y
Entonces la función theta de Jacobi
se puede escribir en la forma
Usando la identidad de producto triple de Jacobi, podemos escribir la función theta como el producto
Hay muchas notaciones diferentes que se utilizan para expresar el producto triple de Jacobi. Toma una forma concisa cuando se expresa en términos de q -símbolos Pochhammer :
dónde es el símbolo infinito q -Pochhammer.
Disfruta de una forma particularmente elegante cuando se expresa en términos de la función theta de Ramanujan . Para se puede escribir como
Prueba
Dejar luego . Dado que f x es meromórfico para | y | > 0 tiene una serie Laurent que satisface así que eso y por lo tanto
Evaluar es más técnico. Un método es establecer y = 1 y mostrar tanto el numerador como el denominador deson de peso 1/2 modular debajo, dado que también son 1-periódicos y acotados en el semiplano superior, el cociente tiene que ser constante para que .
GE Andrews da una prueba simple basada en dos identidades de Euler. [1] Para el caso analítico, vea Apostol, la primera edición de la cual se publicó en 1976. También vea los enlaces a continuación para una prueba motivada con la física debido a Borcherds [ cita requerida ] .
Referencias
- Véase el capítulo 14, teorema 14.6 de Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929 , Zbl 0.335,10001
- Peter J. Cameron, Combinatoria: temas, técnicas, algoritmos , (1994) Cambridge University Press , ISBN 0-521-45761-0
- Jacobi, CGJ (1829), Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (en latín), Königsberg: Borntraeger, ISBN 978-1-108-05200-9, Reimpreso por Cambridge University Press 2012
- Carlitz , L (1962), Una nota sobre la fórmula theta de Jacobi , American Mathematical Society
- Wright, EM (1965), "An Enumerative Proof of An Identity of Jacobi", Revista de la London Mathematical Society , London Mathematical Society : 55–57, doi : 10.1112 / jlms / s1-40.1.55
- ^ Andrews, George E. (1 de febrero de 1965). "Una simple prueba de la triple identidad de producto de Jacobi" . Actas de la American Mathematical Society . 16 (2): 333. doi : 10.1090 / S0002-9939-1965-0171725-X . ISSN 0002-9939 .