Coeficiente binomial gaussiano

Una familia de polinomios

En matemáticas , los coeficientes binomiales gaussianos (también llamados coeficientes gaussianos , polinomios gaussianos o coeficientes q -binomiales ) son q -análogos de los coeficientes binomiales . El coeficiente binomial gaussiano, escrito como${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}}$ o ${\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}}$, es un polinomio en q con coeficientes enteros, cuyo valor cuando q se pone a una potencia prima cuenta el número de subespacios de dimensión k en un espacio vectorial de dimensión n sobre un campo finito con q elementos.

Definición

Los coeficientes binomiales de Gauss se definen por: ^[1]

${\displaystyle {m \choose r}_{q}={\frac {(1-q^{m})(1-q^{m-1})\cdots (1-q^{m-r+1})}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{r})}}}$

donde m y r son números enteros no negativos. Si r > m , esto se evalúa como 0. Para r = 0 , el valor es 1 ya que tanto el numerador como el denominador son productos vacíos .

Aunque la fórmula al principio parece ser una función racional , en realidad es un polinomio, porque la división es exacta en Z [ q ]

Todos los factores en el numerador y el denominador son divisibles por 1 - q , y el cociente es el número q :

${\displaystyle [k]_{q}=\sum _{0\leq i<k}q^{i}=1+q+q^{2}+\cdots +q^{k-1}={\begin{cases}{\frac {1-q^{k}}{1-q}}&{\text{for}}&q\neq 1\\k&{\text{for}}&q=1\end{cases}},}$

Dividir estos factores da la fórmula equivalente

${\displaystyle {m \choose r}_{q}={\frac {[m]_{q}[m-1]_{q}\cdots [m-r+1]_{q}}{[1]_{q}[2]_{q}\cdots [r]_{q}}}\quad (r\leq m).}$

En términos del factorial q ${\displaystyle [n]_{q}!=[1]_{q}[2]_{q}\cdots [n]_{q}}$, la fórmula se puede expresar como

${\displaystyle {m \choose r}_{q}={\frac {[m]_{q}!}{[r]_{q}!\,[m-r]_{q}!}}\quad (r\leq m).}$

Sustituyendo q = 1 en${\displaystyle {\tbinom {m}{r}}_{q}}$ da el coeficiente binomial ordinario ${\displaystyle {\tbinom {m}{r}}}$.

El coeficiente binomial de Gauss tiene valores finitos como ${\displaystyle m\rightarrow \infty }$:

${\displaystyle {\infty \choose r}_{q}=\lim _{m\rightarrow \infty }{m \choose r}_{q}={\frac {1}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{r})}}={\frac {1}{[r]_{q}!\,(1-q)^{r}}}}$

Ejemplos

${\displaystyle {0 \choose 0}_{q}={1 \choose 0}_{q}=1}$

${\displaystyle {1 \choose 1}_{q}={\frac {1-q}{1-q}}=1}$

${\displaystyle {2 \choose 1}_{q}={\frac {1-q^{2}}{1-q}}=1+q}$

${\displaystyle {3 \choose 1}_{q}={\frac {1-q^{3}}{1-q}}=1+q+q^{2}}$

${\displaystyle {3 \choose 2}_{q}={\frac {(1-q^{3})(1-q^{2})}{(1-q)(1-q^{2})}}=1+q+q^{2}}$

${\displaystyle {4 \choose 2}_{q}={\frac {(1-q^{4})(1-q^{3})}{(1-q)(1-q^{2})}}=(1+q^{2})(1+q+q^{2})=1+q+2q^{2}+q^{3}+q^{4}}$

${\displaystyle {6 \choose 3}_{q}={\frac {(1-q^{6})(1-q^{5})(1-q^{4})}{(1-q)(1-q^{2})(1-q^{3})}}=(1+q^{2})(1+q^{3})(1+q+q^{2}+q^{3}+q^{4})=1+q+2q^{2}+3q^{3}+3q^{4}+3q^{5}+3q^{6}+2q^{7}+q^{8}+q^{9}}$

Descripciones combinatorias

Inversiones

Una descripción combinatoria de los coeficientes binomiales de Gauss implica inversiones .

El coeficiente binomial ordinario ${\displaystyle {\tbinom {m}{r}}}$cuenta el r - combinaciones elegidas de un m conjunto -elemento. Si uno toma esos m elementos como las diferentes posiciones de caracteres en una palabra de longitud m , entonces cada r- combinación corresponde a una palabra de longitud m usando un alfabeto de dos letras, digamos {0,1}, con r copias de la letra 1 (que indica las posiciones en la combinación elegida) y m - r letras 0 (para las posiciones restantes).

Entonces, por ejemplo, el ${\displaystyle {4 \choose 2}=6}$las palabras que usan 0 sy 1 s son${\displaystyle 0011,0101,0110,1001,1010,1100}$.

Para obtener el coeficiente binomial gaussiano ${\displaystyle {\tbinom {m}{r}}_{q}}$, cada palabra está asociada con un factor q ^d , donde d es el número de inversiones de la palabra, donde, en este caso, una inversión es un par de posiciones donde la izquierda del par tiene la letra 1 y la posición derecha tiene la letra 0 .

Con el ejemplo anterior, hay una palabra con 0 inversiones, ${\displaystyle 0011}$, una palabra con 1 inversión, ${\displaystyle 0101}$, dos palabras con 2 inversiones, ${\displaystyle 0110}$, ${\displaystyle 1001}$, una palabra con 3 inversiones, ${\displaystyle 1010}$, y una palabra con 4 inversiones, ${\displaystyle 1100}$. Este es también el número de desplazamientos a la izquierda del 1 s desde la posición inicial.

Estos corresponden a los coeficientes en ${\displaystyle {4 \choose 2}_{q}=1+q+2q^{2}+q^{3}+q^{4}}$.

Otra forma de ver esto es asociar cada palabra con un camino a través de una cuadrícula rectangular con altura r y ancho m - r , desde la esquina inferior izquierda hasta la esquina superior derecha. El camino da un paso a la derecha por cada 0 y un paso hacia arriba por cada 1 . Una inversión cambia las direcciones de un paso (derecha + arriba se convierte en arriba + derecha y viceversa), por lo tanto, el número de inversiones es igual al área debajo del camino.

Bolas en contenedores

Dejar ${\displaystyle B(n,m,r)}$ ser la cantidad de formas de lanzar ${\displaystyle r}$ bolas indistinguibles en ${\displaystyle m}$ contenedores indistinguibles, donde cada contenedor puede contener hasta ${\displaystyle n}$pelotas. El coeficiente binomial gaussiano se puede utilizar para caracterizar${\displaystyle B(n,m,r)}$. Por supuesto,

${\displaystyle B(n,m,r)=[q^{r}]{n+m \choose m}_{q}.}$

donde ${\displaystyle [q^{r}]P}$ denota el coeficiente de ${\displaystyle q^{r}}$ en polinomio ${\displaystyle P}$ (consulte también la sección de Aplicaciones a continuación).

Propiedades

Reflexión

Al igual que los coeficientes binomiales ordinarios, los coeficientes binomiales gaussianos son simétricos al centro, es decir, invariantes bajo la reflexión ${\displaystyle r\rightarrow m-r}$:

${\displaystyle {m \choose r}_{q}={m \choose m-r}_{q}.}$

En particular,

${\displaystyle {m \choose 0}_{q}={m \choose m}_{q}=1\,,}$

${\displaystyle {m \choose 1}_{q}={m \choose m-1}_{q}={\frac {1-q^{m}}{1-q}}=1+q+\cdots +q^{m-1}\quad m\geq 1\,.}$

El nombre coeficiente binomial gaussiano se deriva del hecho ^{[ cita requerida ] de} que su evaluación en q = 1 es

${\displaystyle \lim _{q\to 1}{m \choose r}_{q}={m \choose r}}$

para todos m y r .

Análogos de la identidad de Pascal

Los análogos de la identidad de Pascal para los coeficientes binomiales de Gauss son: ^[2]

${\displaystyle {m \choose r}_{q}=q^{r}{m-1 \choose r}_{q}+{m-1 \choose r-1}_{q}}$

y

${\displaystyle {m \choose r}_{q}={m-1 \choose r}_{q}+q^{m-r}{m-1 \choose r-1}_{q}.}$

Cuándo ${\displaystyle q=1}$, ambos dan la identidad binomial habitual. Podemos ver eso como${\displaystyle m\to \infty }$, ambas ecuaciones siguen siendo válidas.

La primera identidad de Pascal permite calcular los coeficientes binomiales de Gauss de forma recursiva (con respecto a m ) utilizando los valores iniciales

${\displaystyle {m \choose m}_{q}={m \choose 0}_{q}=1}$

y también muestra de manera incidental que los coeficientes binomiales de Gauss son de hecho polinomios (en q ).

La segunda identidad de Pascal se sigue de la primera usando la sustitución ${\displaystyle r\rightarrow m-r}$ y la invariancia de los coeficientes binomiales de Gauss bajo la reflexión ${\displaystyle r\rightarrow m-r}$.

Ambas identidades de Pascal se pueden probar notando primero las definiciones:

${\displaystyle {m \choose r}_{q}={{1-q^{m}} \over {1-q^{m-r}}}{m-1 \choose r}_{q}[1]}$

${\displaystyle {m \choose r}_{q}={{1-q^{m}} \over {1-q^{r}}}{m-1 \choose r-1}_{q}[2]}$

Ahora,

${\displaystyle {\frac {1-q^{m}}{1-q^{m-r}}}=q^{r}+{\frac {1-q^{r}}{1-q^{m-r}}}}$

y equiparando directamente [1] y [2], obtenemos:

${\displaystyle {{1-q^{r}} \over {1-q^{m-r}}}{m-1 \choose r}_{q}={m-1 \choose r-1}_{q}}$

Lo mismo ocurre con [2].

q -teorema del binomio

Existe un análogo del teorema binomial para q -coeficientes binomiales:

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}(1+q^{k}t)=\sum _{k=0}^{n}q^{k(k-1)/2}{n \choose k}_{q}t^{k}.}$

Como el teorema del binomio habitual, esta fórmula tiene numerosas generalizaciones y ampliaciones; uno de ellos, correspondiente al teorema binomial generalizado de Newton para potencias negativas, es

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{1-q^{k}t}}=\sum _{k=0}^{\infty }{n+k-1 \choose k}_{q}t^{k}.}$

En el limite ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$, estas fórmulas producen

${\displaystyle \prod _{k=0}^{\infty }(1+q^{k}t)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {q^{k(k-1)/2}t^{k}}{[k]_{q}!\,(1-q)^{k}}}}$

y

${\displaystyle \prod _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{1-q^{k}t}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {t^{k}}{[k]_{q}!\,(1-q)^{k}}}}$.

Configuración ${\displaystyle t=q}$ da las funciones generadoras para partes distintas y cualesquiera, respectivamente.

Identidad central q-binomial

Con los coeficientes binomiales ordinarios, tenemos:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}={\binom {2n}{n}}}$

Con coeficientes q-binomiales, el análogo es:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}q^{k^{2}}{\binom {n}{k}}_{q}^{2}={\binom {2n}{n}}_{q}}$

Aplicaciones

Los coeficientes binomiales de Gauss ocurren en el conteo de polinomios simétricos y en la teoría de particiones . El coeficiente de q ^r en

${\displaystyle {n+m \choose m}_{q}}$

es el número de particiones de r con mo menos partes cada una menor o igual que n . De manera equivalente, también es el número de particiones de r con n o menos partes cada una menor o igual que m .

Los coeficientes binomiales gaussianos también juegan un papel importante en la teoría enumerativa de los espacios proyectivos definidos sobre un campo finito. En particular, para cada campo finito F _q con q elementos, el coeficiente binomial de Gauss

${\displaystyle {n \choose k}_{q}}$

cuenta el número de subespacios vectoriales k -dimensionales de un espacio vectorial n- dimensional sobre F _q (un Grassmanniano ). Cuando se expande como un polinomio en q , produce la conocida descomposición del Grassmanniano en células de Schubert. Por ejemplo, el coeficiente binomial gaussiano

${\displaystyle {n \choose 1}_{q}=1+q+q^{2}+\cdots +q^{n-1}}$

es el número de subespacios unidimensionales en ( F _q ) ⁿ (equivalentemente, el número de puntos en el espacio proyectivo asociado ). Además, cuando q es 1 (respectivamente -1), el coeficiente binomial gaussiano produce la característica de Euler del correspondiente Grassmanniano complejo (respectivamente real).

El número de subespacios afines k -dimensionales de F _q ⁿ es igual a

${\displaystyle q^{n-k}{n \choose k}_{q}}$.

Esto permite otra interpretación de la identidad.

${\displaystyle {m \choose r}_{q}={m-1 \choose r}_{q}+q^{m-r}{m-1 \choose r-1}_{q}}$

como contar los subespacios ( r - 1) -dimensionales del espacio proyectivo ( m - 1) -dimensional fijando un hiperplano, contando tales subespacios contenidos en ese hiperplano, y luego contando los subespacios no contenidos en el hiperplano; estos últimos subespacios están en correspondencia biyectiva con los subespacios afines ( r - 1) -dimensionales del espacio obtenido al tratar este hiperplano fijo como el hiperplano en el infinito.

En las convenciones comunes en aplicaciones a grupos cuánticos , se usa una definición ligeramente diferente; el coeficiente binomial cuántico hay

${\displaystyle q^{k^{2}-nk}{n \choose k}_{q^{2}}}$.

Esta versión del coeficiente binomial cuántico es simétrica bajo intercambio de ${\displaystyle q}$ y ${\displaystyle q^{-1}}$.

Referencias

1. Mukhin, Eugene, capítulo 3
2. Mukhin, Eugene, capítulo 3

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• Mukhin, Eugene. "Polinomios y particiones simétricas" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 4 de marzo de 2016. (sin fecha, 2004 o anterior).
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