En el plano complejo, ¿es posible "caminar hasta el infinito" en los enteros gaussianos utilizando los números primos gaussianos como escalones y dando pasos de longitud acotada?
En teoría de números , el problema del foso gaussiano se pregunta si es posible encontrar una secuencia infinita de números primos gaussianos distintos de manera que la diferencia entre números consecutivos en la secuencia sea acotada. Más colorido, si uno imagina los números primos gaussianos como escalones en un mar de números complejos, la pregunta es si uno puede caminar desde el origen hasta el infinito con pasos de tamaño acotado, sin mojarse. El problema fue planteado por primera vez en 1962 por Basil Gordon (aunque a veces se ha atribuido erróneamente a Paul Erdős ) y sigue sin resolverse. [1]
Con los números primos habituales , tal secuencia es imposible: el teorema de los números primos implica que hay espacios arbitrariamente grandes en la secuencia de números primos, y también hay una prueba directa elemental: para cualquier n , los n - 1 números consecutivos n ! + 2, n ! + 3, ..., n ! + n son todos compuestos. [1]
El problema de encontrar una ruta entre dos primos gaussianos que minimice el tamaño máximo de salto es una instancia del problema de ruta minimax , y el tamaño de salto de una ruta óptima es igual al ancho del foso más ancho entre los dos primos, donde un foso puede definirse mediante una partición de los números primos en dos subconjuntos y su ancho es la distancia entre el par más cercano que tiene un elemento en cada subconjunto. Por lo tanto, el problema de los fosos gaussianos puede expresarse de una forma diferente pero equivalente: ¿hay un límite finito en los anchos de los fosos que tienen un número finito de números primos en el lado del origen? [1]
Las búsquedas computacionales han demostrado que el origen está separado del infinito por un foso de ancho 6. [2] Se sabe que, para cualquier número positivo k , existen primos gaussianos cuyo vecino más cercano está a una distancia k o mayor. De hecho, estos números pueden estar limitados a estar en el eje real. Por ejemplo, el número 20785207 está rodeado por un foso de ancho 17. Por lo tanto, definitivamente existen fosos de ancho arbitrariamente grande, pero estos fosos no necesariamente separan el origen del infinito. [1]
Referencias
- ^ a b c d Gethner, Ellen; Wagon, Stan ; Wick, Brian (1998), "Un paseo por los números primos de Gauss", The American Mathematical Monthly , 105 (4): 327–337, doi : 10.2307 / 2589708 , JSTOR 2589708 , MR 1614871 , Zbl 0946.11002
- ^ Tsuchimura, Nobuyuki (2005), "Resultados computacionales para el problema del foso gaussiano", Transacciones de IEICE sobre Fundamentos de Electrónica, Comunicaciones y Ciencias de la Computación , 88 (5): 1267–1273, Bibcode : 2005IEITF..88.1267T , doi : 10.1093 / ietfec /e88-a.5.1267.
Otras lecturas
- Guy, Richard K. (2004), Problemas no resueltos en teoría de números (3ª ed.), Springer-Verlag , págs. 55–57, ISBN 978-0-387-20860-2, Zbl 1058.11001