En matemáticas, la eliminación gaussiana , también conocida como reducción por filas , es un algoritmo para resolver sistemas de ecuaciones lineales . Consiste en una secuencia de operaciones realizadas sobre la correspondiente matriz de coeficientes. Este método también se puede utilizar para calcular el rango de una matriz, el determinante de una matriz cuadrada y el inverso de una matriz invertible . El método lleva el nombre de Carl Friedrich Gauss (1777-1855), aunque los matemáticos chinos conocían algunos casos especiales del método, aunque presentados sin pruebas, ya alrededor del año 179 EC.[1]
Para realizar la reducción de filas en una matriz, se usa una secuencia de operaciones elementales de filas para modificar la matriz hasta que la esquina inferior izquierda de la matriz se llene con ceros, tanto como sea posible. Hay tres tipos de operaciones de fila elementales:
Usando estas operaciones, una matriz siempre se puede transformar en una matriz triangular superior y, de hecho, en una que está en forma escalonada por filas . Una vez que todos los coeficientes principales (la entrada distinta de cero más a la izquierda en cada fila) son 1, y cada columna que contiene un coeficiente principal tiene ceros en otra parte, se dice que la matriz está en forma escalonada de fila reducida . Esta forma final es única; en otras palabras, es independiente de la secuencia de operaciones de fila usada. Por ejemplo, en la siguiente secuencia de operaciones de fila (donde se realizan dos operaciones elementales en filas diferentes en el primer y tercer paso), las matrices tercera y cuarta son las que están en forma escalonada de fila, y la matriz final es la fila reducida única forma escalonada.
El uso de operaciones de fila para convertir una matriz en forma escalonada de fila reducida a veces se denomina eliminación de Gauss-Jordan . En este caso, el término eliminación gaussiana se refiere al proceso hasta que alcanza su forma escalonada de fila triangular superior o (no reducida). Por razones de cálculo, cuando se resuelven sistemas de ecuaciones lineales, a veces es preferible detener las operaciones de fila antes de que la matriz se reduzca por completo.
El proceso de reducción de filas utiliza operaciones elementales de filas y se puede dividir en dos partes. La primera parte (a veces llamada eliminación directa) reduce un sistema dado a una forma escalonada de filas , a partir de la cual se puede saber si no hay soluciones, una solución única o infinitas soluciones. La segunda parte (a veces llamada sustitución inversa ) continúa utilizando operaciones de fila hasta que se encuentra la solución; en otras palabras, pone la matriz en forma escalonada de fila reducida .
Otro punto de vista, que resulta muy útil para analizar el algoritmo, es que la reducción por filas produce una descomposición matricial de la matriz original. Las operaciones elementales de fila pueden verse como la multiplicación a la izquierda de la matriz original por matrices elementales . Alternativamente, una secuencia de operaciones elementales que reduce una sola fila puede verse como una multiplicación por una matriz de Frobenius . Luego, la primera parte del algoritmo calcula una descomposición LU , mientras que la segunda parte escribe la matriz original como el producto de una matriz invertible determinada de forma única y una matriz escalonada de fila reducida determinada de forma única.