La constante de Gelfond-Schneider o número de Hilbert [1] es dos elevado a la potencia de la raíz cuadrada de dos :
- 2 √ 2 = 2.665 144 142 690 225 188 650 297 249 8731 ...
que demostró ser un número trascendental por Rodion Kuzmin en 1930. [2] En 1934, Aleksandr Gelfond y Theodor Schneider probaron independientemente el teorema más general de Gelfond-Schneider , [3] que resolvió la parte del séptimo problema de Hilbert que se describe a continuación.
Propiedades
La raíz cuadrada de la constante de Gelfond-Schneider es el número trascendental
- 1.632 526 919 438 152 844 77 ....
Esta misma constante puede utilizarse para probar que "un irracional elevado a un poder irracional puede ser racional", incluso sin antes probar su trascendencia. La prueba procede de la siguiente manera: es racional, lo que prueba el teorema, o es irracional (como resulta ser), y luego
es un poder irracional a un irracional que es racional, lo que prueba el teorema. [4] [5] La prueba no es constructiva , ya que no dice cuál de los dos casos es verdadero, pero es mucho más simple que la prueba de Kuzmin .
El séptimo problema de Hilbert
Parte del séptimo de los veintitrés problemas de Hilbert planteados en 1900 era probar, o encontrar un contraejemplo, la afirmación de que a b es siempre trascendental para algebraico a ≠ 0, 1 y algebraico irracional b . En el discurso dio dos ejemplos explícitos, uno de ellos es la constante de Gelfond-Schneider 2 √ 2 .
En 1919, dio una conferencia sobre teoría de números y habló de tres conjeturas: la hipótesis de Riemann , el último teorema de Fermat y la trascendencia de 2 √ 2 . Mencionó a la audiencia que no esperaba que nadie en la sala viviera lo suficiente para ver una prueba de este resultado final. [6] Pero la prueba de la trascendencia de este número fue publicada por Kuzmin en 1930, [2] dentro de la vida de Hilbert . Es decir, Kuzmin demostró el caso en el que el exponente b es un irracional cuadrático real , que más tarde fue ampliado a un irracional algebraico arbitrario b por Gelfond y Schneider.
Ver también
Referencias
- ^ Courant, R .; Robbins, H. (1996), What Is Mathematics ?: An Elementary Approach to Ideas and Methods , Oxford University Press, p. 107
- ^ a b RO Kuzmin (1930). "Sobre una nueva clase de números trascendentales" . Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Ser. matem . 7 : 585–597.
- ^ Aleksandr Gelfond (1934). "Sur le septième Problème de Hilbert" . Bulletin de l'Académie des Sciences de l'URSS. Classe des sciences mathématiques et na . VII (4): 623–634.
- ^ Jarden, D. (1953), "Curiosa: Una prueba simple de que una potencia de un número irracional a un exponente irracional puede ser racional", Scripta Mathematica , 19 : 229.
- ^ Jones, JP; Toporowski, S. (1973), "Números irracionales", American Mathematical Monthly , 80 : 423–424, doi : 10.2307 / 2319091 , MR 0314775,
- ^ David Hilbert, Natur und mathisches Erkennen: Vorlesungen, gehalten 1919-1920 .
Otras lecturas
- Ribenboim, Paulo (2000). Mis números, mis amigos: conferencias populares sobre teoría de números . Universitext. Springer-Verlag . ISBN 0-387-98911-0. Zbl 0947.11001 .
- Tijdeman, Robert (1976). "Sobre el método Gel'fond-Baker y sus aplicaciones". En Felix E. Browder (ed.). Desarrollos matemáticos que surgen de los problemas de Hilbert . Actas de simposios en matemáticas puras . XXVIII.1. Sociedad Matemática Estadounidense . págs. 241–268. ISBN 0-8218-1428-1. Zbl 0341.10026 .