Los problemas de Hilbert son veintitrés problemas matemáticos publicados por el matemático alemán David Hilbert en 1900. Todos estaban sin resolver en ese momento y varios demostraron ser muy influyentes para las matemáticas del siglo XX. Hilbert presentó diez de los problemas (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 y 22) en la conferencia de París del Congreso Internacional de Matemáticos , hablando el 8 de agosto en la Sorbona . La lista completa de 23 problemas se publicó más tarde, sobre todo en la traducción al inglés en 1902 por Mary Frances Winston Newson en el Bulletin of the American Mathematical Society . [1]
Naturaleza e influencia de los problemas
Los problemas de Hilbert variaban mucho en temas y precisión. Algunos de ellos, como el tercer problema, que fue el primero en resolverse, o el octavo problema (la hipótesis de Riemann ), que aún permanece sin resolver, se presentaron con la precisión suficiente para permitir una clara respuesta afirmativa o negativa. Para otros problemas, como el 5, los expertos tradicionalmente han acordado una interpretación única y se ha dado una solución a la interpretación aceptada, pero existen problemas sin resolver estrechamente relacionados. Algunas de las declaraciones de Hilbert no eran lo suficientemente precisas para especificar un problema en particular, pero eran lo suficientemente sugerentes como para que ciertos problemas de la naturaleza contemporánea parecieran aplicarse; por ejemplo, la mayoría de los teóricos de números modernos probablemente verían el noveno problema como una referencia a la correspondencia conjetural de Langlands en representaciones del grupo absoluto de Galois de un campo numérico . [ cita requerida ] Otros problemas, como el 11 y el 16, se refieren a lo que ahora son subdisciplinas matemáticas florecientes, como las teorías de formas cuadráticas y curvas algebraicas reales .
Hay dos problemas que no solo están sin resolver, sino que, de hecho, pueden ser irresolubles según los estándares modernos. El sexto problema se refiere a la axiomatización de la física , un objetivo que los desarrollos del siglo XX parecen convertir en más remoto y menos importante que en la época de Hilbert. Además, el cuarto problema se refiere a los fundamentos de la geometría, de una manera que ahora generalmente se considera demasiado vaga para permitir una respuesta definitiva.
Los otros veintiún problemas han recibido una atención significativa y, a finales del siglo XX, el trabajo sobre estos problemas todavía se consideraba de la mayor importancia. Paul Cohen recibió la Medalla Fields durante 1966 por su trabajo sobre el primer problema, y la solución negativa del décimo problema durante 1970 por Yuri Matiyasevich (completando el trabajo de Martin Davis , Hilary Putnam y Julia Robinson ) generó un reconocimiento similar. Los aspectos de estos problemas siguen siendo de gran interés en la actualidad.
Ignorabimus
Siguiendo a Gottlob Frege y Bertrand Russell , Hilbert buscó definir las matemáticas de manera lógica utilizando el método de los sistemas formales , es decir, pruebas finitistas a partir de un conjunto acordado de axiomas. [2] Uno de los principales objetivos del programa de Hilbert era una prueba finitista de la consistencia de los axiomas de la aritmética: ese es su segundo problema. [a]
Sin embargo, el segundo teorema de incompletitud de Gödel da un sentido preciso en el que tal prueba finitista de la consistencia de la aritmética es demostrablemente imposible. Hilbert vivió durante 12 años después de que Kurt Gödel publicara su teorema, pero no parece haber escrito ninguna respuesta formal al trabajo de Gödel. [b] [c]
El décimo problema de Hilbert no pregunta si existe un algoritmo para decidir la solubilidad de las ecuaciones diofánticas , sino más bien pide la construcción de dicho algoritmo: "diseñar un proceso según el cual se pueda determinar en un número finito de operaciones si el la ecuación se puede resolver en números enteros racionales ". Que este problema se resolviera mostrando que no puede existir tal algoritmo contradecía la filosofía de las matemáticas de Hilbert.
Al discutir su opinión de que todo problema matemático debería tener una solución, Hilbert admite la posibilidad de que la solución sea una prueba de que el problema original es imposible. [d] Afirmó que el punto es saber de una forma u otra cuál es la solución, y creía que siempre podemos saber esto, que en matemáticas no hay ningún " ignorabimus " (enunciado cuya verdad nunca se puede conocer) . [e] No parece claro si habría considerado la solución del décimo problema como una instancia de ignorabimus: lo que se demuestra que no existe no es la solución entera, sino (en cierto sentido) la capacidad de discernir de una manera específica. si existe una solución.
Por otro lado, el estado del primer y segundo problema es aún más complicado: no existe un consenso matemático claro sobre si los resultados de Gödel (en el caso del segundo problema), o Gödel y Cohen (en el caso del segundo problema) del primer problema) dan o no soluciones negativas definitivas, ya que estas soluciones se aplican a una cierta formalización de los problemas, que no es necesariamente la única posible. [F]
El problema número 24
Hilbert originalmente incluyó 24 problemas en su lista, pero decidió no incluir uno de ellos en la lista publicada. El "problema 24" (en la teoría de la prueba , con un criterio de simplicidad y métodos generales) fue redescubierto en las notas originales del manuscrito de Hilbert por el historiador alemán Rüdiger Thiele en 2000. [5]
Secuelas
Desde 1900, los matemáticos y las organizaciones matemáticas han anunciado listas de problemas, pero, con pocas excepciones, estos no han tenido tanta influencia ni han generado tanto trabajo como los problemas de Hilbert.
Una excepción consiste en tres conjeturas hechas por André Weil a fines de la década de 1940 (las conjeturas de Weil ). En los campos de la geometría algebraica , la teoría de números y los vínculos entre los dos, las conjeturas de Weil fueron muy importantes [ cita requerida ] . El primero de ellos fue probado por Bernard Dwork ; Alexander Grothendieck dio una prueba completamente diferente de los dos primeros, a través de la cohomología ℓ-ádica . La última y más profunda de las conjeturas de Weil (una analogía de la hipótesis de Riemann) fue probada por Pierre Deligne . Tanto Grothendieck como Deligne recibieron la medalla Fields . Sin embargo, las conjeturas de Weil eran, en su alcance, más como un solo problema de Hilbert, y Weil nunca las pensó como un programa para todas las matemáticas. Esto es algo irónico, ya que podría decirse que Weil fue el matemático de las décadas de 1940 y 1950 que mejor desempeñó el papel de Hilbert, al estar familiarizado con casi todas las áreas de las matemáticas (teóricas) y haber tenido una participación importante en el desarrollo de muchas de ellas.
Paul Erdős planteó cientos, si no miles, de problemas matemáticos , muchos de ellos profundos. Erds ofrecía a menudo recompensas monetarias; el tamaño de la recompensa dependía de la dificultad percibida del problema.
El final del milenio, que fue también el centenario del anuncio de Hilbert de sus problemas, brindó una ocasión natural para proponer "un nuevo conjunto de problemas de Hilbert". Varios matemáticos aceptaron el desafío, en particular el medallista Fields Steve Smale , quien respondió a una solicitud de Vladimir Arnold de proponer una lista de 18 problemas.
Al menos en los principales medios de comunicación, el análogo de facto de los problemas de Hilbert en el siglo XXI es la lista de siete problemas del premio Millennium elegidos durante 2000 por el Clay Mathematics Institute . A diferencia de los problemas de Hilbert, donde el premio principal fue la admiración de Hilbert en particular y de los matemáticos en general, cada problema de premio incluye una recompensa de un millón de dólares. Al igual que con los problemas de Hilbert, uno de los problemas del premio (la conjetura de Poincaré ) se resolvió relativamente poco después de que se anunciaran los problemas.
La hipótesis de Riemann es notable por su aparición en la lista de problemas de Hilbert, la lista de Smale, la lista de problemas del premio Millennium e incluso las conjeturas de Weil, en su forma geométrica. Aunque ha sido atacado por los principales matemáticos de nuestros días, muchos expertos creen que seguirá formando parte de las listas de problemas sin resolver durante muchos siglos. El propio Hilbert declaró: "Si me despertara después de haber dormido durante mil años, mi primera pregunta sería: ¿Ha sido probada la hipótesis de Riemann?" [6]
En 2008, DARPA anunció su propia lista de 23 problemas que esperaba que pudieran conducir a importantes avances matemáticos, "fortaleciendo así las capacidades científicas y tecnológicas del DoD ". [7] [8] [9]
Resumen
De los problemas de Hilbert claramente formulados, los problemas 3, 7, 10, 14, 17, 18, 19 y 20 tienen una resolución que es aceptada por consenso de la comunidad matemática. Por otro lado, los problemas 1, 2, 5, 6, 9, 11, 15, 21 y 22 tienen soluciones que tienen una aceptación parcial, pero existe cierta controversia sobre si resuelven los problemas.
Eso deja 8 (la hipótesis de Riemann ), 12, 13 y 16 [g] sin resolver, y 4 y 23 demasiado vagos para ser descritos como resueltos. Los 24 retirados también estarían en esta clase. El número 6 se pospone como un problema en física más que en matemáticas.
Tabla de problemas
Los veintitrés problemas de Hilbert son (para obtener detalles sobre las soluciones y referencias, consulte los artículos detallados que están vinculados en la primera columna):
Problema | Breve explicacion | Estado | Año resuelto |
---|---|---|---|
1er | La hipótesis del continuo (es decir, no existe un conjunto cuya cardinalidad esté estrictamente entre la de los enteros y la de los números reales ) | Se ha demostrado que es imposible de probar o refutar dentro de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con o sin el axioma de elección (siempre que la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sea consistente , es decir, no contenga una contradicción). No hay consenso sobre si esto es una solución al problema. | 1940, 1963 |
2do | Demuestre que los axiomas de la aritmética son consistentes . | No hay consenso sobre si los resultados de Gödel y Gentzen dan una solución al problema como lo afirma Hilbert. El segundo teorema de incompletitud de Gödel , probado en 1931, muestra que ninguna prueba de su consistencia puede llevarse a cabo dentro de la aritmética misma. Gentzen demostró en 1936 que la consistencia de la aritmética se deriva de la fundamentación del ordinal ε ₀ . | 1931, 1936 |
Tercero | Dados dos poliedros cualesquiera de igual volumen, ¿es siempre posible cortar el primero en un número finito de piezas poliédricas que se puedan volver a ensamblar para producir el segundo? | Resuelto. Resultado: No, probado usando invariantes de Dehn . | 1900 |
Cuarto | Construya todas las métricas donde las líneas son geodésicas . | Demasiado vago para decirlo resuelto o no. [h] | - |
Quinto | ¿Los grupos continuos son automáticamente grupos diferenciales ? | Resuelto por Andrew Gleason , asumiendo una interpretación de la declaración original. Sin embargo, si se entiende como un equivalente de la conjetura de Hilbert-Smith , todavía está sin resolver. | 1953? |
Sexto | Tratamiento matemático de los axiomas de la física (a) tratamiento axiomático de la probabilidad con teoremas límite para la base de la física estadística (b) la teoría rigurosa de los procesos limitantes "que conducen desde la visión atomística a las leyes del movimiento de los continuos" | Parcialmente resuelto dependiendo de cómo se interprete la declaración original. [10] Los puntos (a) y (b) fueron dos problemas específicos dados por Hilbert en una explicación posterior. [1] La axiomática de Kolmogorov (1933) ahora se acepta como estándar. Hay cierto éxito en el camino de la "visión atomista a las leyes del movimiento de los continuos". [11] | 1933-2002? |
Séptimo | ¿Es a b trascendental , para algebraico a ≠ 0,1 y algebraico irracional b ? | Resuelto. Resultado: Sí, ilustrado por el teorema de Gelfond o el teorema de Gelfond-Schneider . | 1934 |
Octavo | La hipótesis de Riemann ("la parte real de cualquier cero no trivial de la función zeta de Riemann es ½") y otros problemas de números primos, entre ellos la conjetura de Goldbach y la conjetura de los primos gemelos | Irresoluto. | - |
Noveno | Encuentre la ley más general del teorema de reciprocidad en cualquier campo numérico algebraico . | Parcialmente resuelto. [I] | - |
Décimo | Encuentre un algoritmo para determinar si una ecuación diofántica polinomial dada con coeficientes enteros tiene una solución entera. | Resuelto. Resultado: imposible; El teorema de Matiyasevich implica que no existe tal algoritmo. | 1970 |
11º | Resolver formas cuadráticas con coeficientes numéricos algebraicos . | Parcialmente resuelto. [12] | - |
12 | Extienda el teorema de Kronecker-Weber sobre las extensiones abelianas de los números racionales a cualquier campo numérico base. | Parcialmente resuelto. [13] | - |
13 | Resolver la ecuación de séptimo grado usando funciones algebraicas (variante: continua) de dos parámetros . | Irresoluto. La variante continua de este problema fue resuelta por Vladimir Arnold en 1957 basándose en el trabajo de Andrei Kolmogorov , pero la variante algebraica no está resuelta. [j] | - |
14 | ¿El anillo de invariantes de un grupo algebraico que actúa sobre un anillo polinomial siempre se genera finitamente ? | Resuelto. Resultado: No, Masayoshi Nagata construyó un contraejemplo . | 1959 |
15 | Fundamento riguroso del cálculo enumerativo de Schubert . | Parcialmente resuelto. [ cita requerida ] | - |
16 ° | Describir las posiciones relativas de los óvalos que se originan a partir de una curva algebraica real y como ciclos límite de un campo vectorial polinomial en el plano. | Sin resolver, incluso para curvas algebraicas de grado 8. | - |
17 | Exprese una función racional no negativa como cociente de sumas de cuadrados . | Resuelto. Resultado: Sí, gracias a Emil Artin . Además, se estableció un límite superior para el número de términos cuadrados necesarios. | 1927 |
18 | (a) ¿Existe un poliedro que admita solo un mosaico anisoédrico en tres dimensiones? (b) ¿Cuál es el empaquetamiento de esferas más denso ? | (a) Resuelto. Resultado: Sí (por Karl Reinhardt ). (b) Se cree ampliamente que se resuelve mediante una prueba asistida por computadora (por Thomas Callister Hales ). Resultado: La densidad más alta lograda con empaques cerrados , cada uno con una densidad de aproximadamente 74%, como empaques cerrados cúbicos centrados en las caras y empaques cerrados hexagonales. [k] | (a) 1928 (b) 1998 |
19 | ¿Las soluciones de problemas regulares en el cálculo de variaciones son siempre necesariamente analíticas ? | Resuelto. Resultado: Sí, probado por Ennio de Giorgi y, de forma independiente y con diferentes métodos, por John Forbes Nash . | 1957 |
Vigésimo | ¿ Tienen solución todos los problemas variacionales con ciertas condiciones de contorno ? | Resuelto. Un tema importante de investigación a lo largo del siglo XX, que culminó en soluciones para el caso no lineal. | ? |
21 | Prueba de la existencia de ecuaciones diferenciales lineales que tienen un grupo monodrómico prescrito | Parcialmente resuelto. Resultado: Sí / No / Abierto dependiendo de formulaciones más exactas del problema. | ? |
22 | Uniformización de relaciones analíticas mediante funciones automórficas | Parcialmente resuelto. Teorema de uniformización | ? |
23 | Mayor desarrollo del cálculo de variaciones. | Demasiado vago para decirlo resuelto o no. | - |
Ver también
- Los problemas de Landau
Notas
- ↑ Ver Nagel y Newman revisado por Hofstadter (2001, p. 107), [3] nota al pie 37: "Además, aunque la mayoría de los especialistas en lógica matemática no cuestionan la fuerza de la prueba [de Gentzen], no es finitista en el sentido de Las estipulaciones originales de Hilbert para una prueba absoluta de coherencia ". Véase también la página siguiente: "Pero estas pruebas [de Gentzen y otros] no pueden reflejarse dentro de los sistemas que les conciernen y, dado que no son finitistas, no logran los objetivos proclamados del programa original de Hilbert". Hofstadter reescribió ligeramente la nota al pie de página original (1958), cambiando la palabra "estudiantes" por "especialistas en lógica matemática". Y este punto se discute de nuevo en la página 109 [3] y no fue modificado allí por Hofstadter (p. 108). [3]
- ↑ Reid informa que al escuchar sobre "el trabajo de Gödel de Bernays, estaba 'algo enojado' ... Al principio solo estaba enojado y frustrado, pero luego comenzó a tratar de lidiar de manera constructiva con el problema ... aún no está claro qué influencia tendría en última instancia la obra de Gödel "(p. 198-199). [4] Reid señala que en dos artículos de 1931 Hilbert propuso una forma diferente de inducción llamada "inducción unéndliche" (p. 199). [4]
- ↑ La biografía de Hilbert de Reid, escrita durante la década de 1960 a partir de entrevistas y cartas, informa que "Godel (que nunca tuvo correspondencia con Hilbert) siente que el esquema de Hilbert para los fundamentos de las matemáticas" sigue siendo muy interesante e importante a pesar de mis resultados negativos " (p. 217). Observe el uso del tiempo presente: ella informa que Gödel y Bernays, entre otros, "respondieron a mis preguntas sobre el trabajo de Hilbert en lógica y fundamentos" (p. vii). [4]
- ↑ Este tema que encuentra sus inicios en la "crisis fundacional" de principios del siglo XX, en particular la controversia sobre bajo qué circunstancias podríaemplearsela Ley del Medio Excluido en las pruebas. Vea mucho más en la controversia Brouwer-Hilbert .
- ^ "Esta convicción de la solubilidad de todo problema matemático es un incentivo poderoso para el trabajador. Escuchamos dentro de nosotros la llamada perpetua: existe el problema. Busque su solución. Puede encontrarlo por la razón pura, porque en matemáticas no hay ignorabimus. "(Hilbert, 1902, p. 445.)
- ↑ Nagel, Newman y Hofstadter discuten este tema: "La posibilidad de construir una prueba de consistencia absoluta finitista para un sistema formal como Principia Mathematica no está excluida por los resultados de Gödel ... Su argumento no elimina la posibilidad ... Pero Hoy en día nadie parece tener una idea clara de cómo sería una prueba finitista que no escapaz de reflejarse dentro de Principia Mathematica (nota al pie 39, página 109). Los autores concluyen que la perspectiva "es muy improbable". [3]
- ↑ Algunos autores consideran que este problema es demasiado vago para ser descrito como resuelto, aunque todavía hay una investigación activa al respecto.
- ^ Según Gray, la mayoría de los problemas se han resuelto. Algunas no se definieron completamente, pero se ha avanzado lo suficiente como para considerarlas "resueltas"; Gray enumera el cuarto problema como demasiado vago para decir si se ha resuelto.
- ↑ El problema 9 lo resolvió Emil Artin en 1927 para las extensiones abelianas de los números racionales durante el desarrollo de la teoría de campos de clases ; el caso no abeliano permanece sin resolver, si se interpreta que significa teoría de campo de clase no abeliana .
- ^ No es difícil demostrar que el problema tiene una solución parcial dentro del espacio de funciones analíticas de un solo valor (Raudenbush). Algunos autores argumentan que Hilbert pretendía una solución dentro del espacio de funciones algebraicas (de múltiples valores), continuando así su propio trabajo sobre funciones algebraicas y siendo una pregunta sobre una posible extensión de la teoría de Galois (ver, por ejemplo, Abhyankar [14 ] Vitushkin, [15] Chebotarev, [16] y otros). De uno de los artículos de Hilbert se desprende [17] que esta era su intención original para el problema. El lenguaje de Hilbert es "... Existenz von algebraischen Funktionen ...", [existencia defunciones algebraicas ]. Como tal, el problema sigue sin resolverse.
- ↑ Gray también enumera el problema 18 como "abierto" en su libro de 2000, porque el problema del empaquetamiento de esferas (también conocido como la conjetura de Kepler ) no estaba resuelto, pero ahora se ha afirmado una solución.
Referencias
- ↑ a b Hilbert, David (1902). "Problemas matemáticos" . Boletín de la American Mathematical Society . 8 (10): 437–479. doi : 10.1090 / S0002-9904-1902-00923-3 . Publicaciones anteriores (en el alemán original) aparecieron en Hilbert, David (1900). "Mathematische Probleme" . Göttinger Nachrichten : 253-297. y Hilbert, David (1901). "[sin título citado]". Archiv der Mathematik und Physik . 3. 1 : 44–63, 213–237.
- ^ van Heijenoort, Jean, ed. (1976) [1966]. De Frege a Gödel: un libro de consulta en lógica matemática, 1879-1931 ((pbk.) Ed.). Cambridge MA: Harvard University Press. págs. 464ff. ISBN 978-0-674-32449-7.
Una fuente confiable del sistema axiomático de Hilbert, sus comentarios sobre ellos y sobre la "crisis" fundamental que estaba en curso en ese momento (traducida al inglés), aparece como 'The Foundations of Mathematics' de Hilbert (1927). - ^ a b c d Nagel, Ernest; Newman, James R. (2001). Hofstadter, Douglas R. (ed.). Prueba de Gödel . Nueva York, NY: New York University Press. ISBN 978-0-8147-5816-8.
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Otras lecturas
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- Yandell, Benjamin H. (2002). La clase de honores: los problemas de Hilbert y sus solucionadores . Wellesley, MA: AK Peters. ISBN 978-1-56881-141-3.
- Thiele, Rüdiger (2005). "Sobre Hilbert y sus veinticuatro problemas". En Van Brummelen, Glen (ed.). Las matemáticas y el oficio del historiador: las conferencias de Kenneth O. May . Libros CMS en Matemáticas / Ouvrages de Mathématiques de la SMC. 21 . págs. 243–295. ISBN 978-0-387-25284-1.
- Dawson, John W. Jr. (1997). Dilemas lógicos: la vida y obra de Kurt Gödel . AK Peters.
Una gran cantidad de información relevante para "programa" de Hilbert y Gödel 's impacto sobre la segunda cuestión, el impacto de Arend Heyting ' s y Brouwer 's Intuicionismo en la filosofía de Hilbert. - Browder, Felix E. , ed. (1976). "Desarrollos matemáticos derivados de problemas de Hilbert". Actas de Simposios en Matemática Pura XXVIII . Sociedad Matemática Estadounidense.
Una colección de ensayos de encuestas de expertos dedicados a cada uno de los 23 problemas que enfatizan los desarrollos actuales. - Matiyasevich, Yuri (1993). Décimo problema de Hilbert . Cambridge, MA: MIT Press. ISBN 978-0262132954.
Un relato a nivel de pregrado del matemático que completó la solución del problema.
enlaces externos
- "Problemas de Hilbert" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- "Texto original de la charla de Hilbert, en alemán" . Archivado desde el original el 5 de febrero de 2012 . Consultado el 5 de febrero de 2005 .
- "Problemas matemáticos" de David Hilbert: una conferencia pronunciada antes del Congreso Internacional de Matemáticos en París en 1900 " (PDF) .