El séptimo problema de Hilbert es uno de la lista de problemas matemáticos abiertos planteados por David Hilbert en 1900. Se refiere a la irracionalidad y trascendencia de ciertos números ( Irrationalität und Transzendenz bestimmter Zahlen ).
Planteamiento del problema
Se hacen dos preguntas específicas equivalentes [1] :
- En un triángulo isósceles , si la relación entre el ángulo de la base y el ángulo en el vértice es algebraica pero no racional , ¿entonces la relación entre la base y el lado es siempre trascendental ?
- Es siempre trascendental , para algebraico y algebraico irracional?
Solución
La pregunta (en la segunda forma) fue respondida afirmativamente por Aleksandr Gelfond en 1934 y refinada por Theodor Schneider en 1935. Este resultado se conoce como teorema de Gelfond o teorema de Gelfond-Schneider . (La restricción a la b irracional es importante, ya que es fácil ver quees algebraica para algebraica una y racional b .)
Desde el punto de vista de las generalizaciones, este es el caso
de la forma lineal general en logaritmos que fue estudiado por Gelfond y luego resuelto por Alan Baker . Se llama conjetura de Gelfond o teorema de Baker . Baker recibió una medalla Fields en 1970 por este logro.
Ver también
Referencias
- ^ Feldman, NI ; Nesterenko, Yu. V. (1998). Parshin, AN; Shafarevich, IR (eds.). Números trascendentales . Teoría de números IV. Springer-Verlag Berlín Heidelberg. pp. 146 -147. ISBN 978-3-540-61467-8.
Bibliografía
- Tijdeman, Robert (1976). "Sobre el método Gel'fond-Baker y sus aplicaciones". En Felix E. Browder (ed.). Desarrollos matemáticos que surgen de los problemas de Hilbert . Actas de simposios en matemáticas puras . XXVIII.1. Sociedad Matemática Estadounidense . págs. 241–268. ISBN 978-0-8218-1428-4. Zbl 0341.10026 .
- Manin, Yu. Yo ; Panchishkin, AA (2007). Introducción a la teoría de números moderna . Enciclopedia de Ciencias Matemáticas. 49 (Segunda ed.). pag. 61. ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN 0938-0396 . Zbl 1079.11002 .