En geometría algebraica un jacobiano generalizado es un grupo algebraico conmutativo asociado a una curva con un divisor, generalizando la variedad jacobiana de una curva completa. Fueron introducidos por Maxwell Rosenlicht ( 1954 ), y pueden utilizarse para estudiar cubiertas ramificadas de una curva, con grupo abeliano de Galois . Los jacobianos generalizados de una curva son extensiones del jacobiano de la curva por un grupo algebraico afín conmutativo, lo que brinda ejemplos no triviales del teorema de estructura de Chevalley .
Suponga que C es una curva no singular completa, m es un divisor efectivo en C , S es el soporte de m y P es un punto base fijo en C , no en S. El jacobiano generalizado J m es un grupo algebraico conmutativo con una aplicación racional f de C a J m tal que:
Además , J m es el grupo universal con estas propiedades, en el sentido de que cualquier mapa racional de C a un grupo con las propiedades anteriores se factoriza únicamente a través de J m . El grupo J m no depende de la elección del punto base P , aunque cambiar P cambia ese mapa f por una traslación.
Para m = 0, el jacobiano generalizado J m es solo el jacobiano habitual J , una variedad abeliana de dimensión g , el género de C .
Para m un divisor efectivo distinto de cero , el jacobiano generalizado es una extensión de J por un grupo algebraico afín conmutativo conectado L m de dimensión grados ( m )−1. Entonces tenemos una sucesión exacta
de un producto de grupos R i por el grupo multiplicativo G m del campo subyacente. El producto recorre los puntos P i en el apoyo de m , y el grupo U P i ( n i ) es el grupo de elementos invertibles del anillo local modulo los que son 1 mod P i n i . El grupo U P i ( n i ) tiene dimensión n i , el número de veces que P i ocurre en m. Es el producto del grupo multiplicativo G m por un grupo unipotente de dimensión n i −1, que en característica 0 es isomorfo a un producto de n i −1 grupos aditivos.