Conjetura de Ramanujan-Petersson

En matemáticas , la conjetura de Ramanujan , debida a Srinivasa Ramanujan ( 1916 , p.176), establece que la función tau de Ramanujan dada por los coeficientes de Fourier $τ (n)$ de la forma cúspide $Δ(z)$ de peso $12$

donde , satisface $q=e^{2\pi iz}$

cuando $p$ es un número primo . La conjetura de Ramanujan generalizada o conjetura de Ramanujan-Petersson , introducida por Petersson ( 1930 ), es una generalización a otras formas modulares o formas automórficas.

¿Existen funciones L distintas de la función zeta de Riemann y las funciones L de Dirichlet que satisfagan las relaciones anteriores? De hecho, las funciones L de formas automórficas satisfacen el producto de Euler (1) pero no satisfacen (2) porque no tienen la propiedad completamente multiplicativa. Sin embargo, Ramanujan descubrió que la función L del discriminante modular satisface la relación modificada

se considera como la diferencia de la propiedad completamente multiplicativa. La función L anterior se llama función L de Ramanujan .

tendría siempre raíces imaginarias de muchos ejemplos. La relación entre raíces y coeficientes de ecuaciones cuadráticas conduce a la tercera relación, llamada conjetura de Ramanujan . Además, para la función tau de Ramanujan, sean las raíces de la ecuación cuadrática anterior $α$ y $β$ , luego