En la teoría de números , una rama de las matemáticas , una forma de cúspide es un tipo particular de forma modular con un coeficiente constante cero en la expansión de la serie de Fourier .
Introducción
Una forma de cúspide se distingue en el caso de formas modulares para el grupo modular por la desaparición del coeficiente constante a 0 en la expansión de la serie de Fourier (ver q -expansión )
Esta expansión de Fourier existe como consecuencia de la presencia en la acción del grupo modular en el semiplano superior a través de la transformación
Para otros grupos, puede haber alguna traducción a través de varias unidades, en cuyo caso la expansión de Fourier es en términos de un parámetro diferente. En todos los casos, sin embargo, el límite cuando q → 0 es el límite en el semiplano superior como la parte imaginaria de z → ∞. Tomando el cociente por el grupo modular, este límite corresponde a una cúspide de una curva modular (en el sentido de un punto agregado para la compactación ). Entonces, la definición equivale a decir que una forma de cúspide es una forma modular que se desvanece en una cúspide. En el caso de otros grupos, puede haber varias cúspides y la definición se convierte en una forma modular que se desvanece en todas las cúspides. Esto puede implicar varias expansiones.
Dimensión
Las dimensiones de los espacios de las formas de las cúspides son, en principio, calculables mediante el teorema de Riemann-Roch . Por ejemplo, la función tau de Ramanujan τ ( n ) surge como la secuencia de coeficientes de Fourier de la forma cúspide del peso 12 para el grupo modular, con un 1 = 1. El espacio de tales formas tiene dimensión 1, lo que significa que esta definición es posible; y eso explica la acción de los operadores de Hecke en el espacio por multiplicación escalar (prueba de Mordell de las identidades de Ramanujan). Explícitamente es el discriminante modular
que representa (hasta una constante de normalización ) el discriminante del cúbico en el lado derecho de la ecuación de Weierstrass de una curva elíptica ; y el poder número 24 de la función eta de Dedekind . Los coeficientes de Fourier aquí se escriben
y se llama ' función tau de Ramanujan ', con la normalización τ (1) = 1.
Conceptos relacionados
En el panorama más amplio de las formas automórficas , las formas de las cúspides son complementarias a las series de Eisenstein , en un espectro discreto / espectro continuo , o en una distinción de representación en serie discreta / representación inducida típica en diferentes partes de la teoría espectral . Es decir, la serie de Eisenstein se puede "diseñar" para que adopte valores dados en las cúspides. Existe una gran teoría general, aunque depende de la intrincada teoría de los subgrupos parabólicos y las correspondientes representaciones cúspides .
Referencias
- Serre, Jean-Pierre , Un curso de aritmética , Textos de posgrado en matemáticas , No. 7, Springer-Verlag , 1978. ISBN 0-387-90040-3
- Shimura, Goro , Introducción a la teoría aritmética de las funciones automórficas , Princeton University Press , 1994. ISBN 0-691-08092-5
- Gelbart, Stephen , Automorphic Forms on Adele Groups , Annals of Mathematics Studies, No. 83, Princeton University Press, 1975. ISBN 0-691-08156-5