La función tau de Ramanujan , estudiada por Ramanujan ( 1916 ), es la función definido por la siguiente identidad:
dónde con y es la función eta de Dedekind y la funciónes una forma de cúspide holomórfica de peso 12 y nivel 1, conocida como forma modular discriminante . Aparece en conexión con un "término de error" involucrado en contar el número de formas de expresar un número entero como una suma de 24 cuadrados. En Dyson (1972) se dio una fórmula debida a Ian G. Macdonald .
Valores
Los primeros valores de la función tau se dan en la siguiente tabla (secuencia A000594 en la OEIS ):
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | dieciséis | |
1 | −24 | 252 | −1472 | 4830 | −6048 | −16744 | 84480 | −113643 | −115920 | 534612 | −370944 | −577738 | 401856 | 1217160 | 987136 |
Conjeturas de Ramanujan
Ramanujan (1916) observó, pero no probó, las siguientes tres propiedades de:
- Si (significa que es una función multiplicativa )
- para p primo y r > 0.
- para todos los números primos p .
Las dos primeras propiedades fueron probadas por Mordell (1917) y la tercera, llamada conjetura de Ramanujan , fue probada por Deligne en 1974 como consecuencia de su demostración de las conjeturas de Weil (específicamente, la dedujo aplicándolas a un Kuga- Variedad Sato).
Congruencias para la función tau
Para k ∈ Z y n ∈ Z > 0 , defina σ k ( n ) como la suma de las k -ésimas potencias de los divisores de n . La función tau satisface varias relaciones de congruencia; muchos de ellos se pueden expresar en términos de σ k ( n ). Éstos son algunos: [1]
Conjeturas sobre τ ( n )
Suponer que es un peso nueva forma entera y los coeficientes de Fourierson enteros. Considere el problema: sino tiene multiplicación compleja , demuestre que casi todos los números primos tener la propiedad que . De hecho, la mayoría de los números primos deberían tener esta propiedad y, por lo tanto, se denominan ordinarios. A pesar de los grandes avances de Deligne y Serre sobre las representaciones de Galois, que determinan por coprime a , no tenemos ni idea de cómo calcular . El único teorema a este respecto es el famoso resultado de Elkies para curvas elípticas modulares, que de hecho garantiza que hay infinitos números primos para cual , que a su vez es obviamente . No conocemos ningún ejemplo de no CM con peso para cual modificación para infinitos números primos (aunque debería ser cierto para casi todos ). Tampoco conocemos ningún ejemplo en el que modificación para infinitos . Algunas personas habían comenzado a dudar si de hecho para infinitos . Como evidencia, muchos proporcionaron los datos de Ramanujan (caja de peso ). El más grande conocido para cual es . Las únicas soluciones a la ecuación están y hasta . [9]
Lehmer (1947) conjeturó que para todos , una afirmación a veces conocida como conjetura de Lehmer. Lehmer verificó la conjetura de(Apostol 1997, p. 22). La siguiente tabla resume el progreso en la búsqueda de valores sucesivamente mayores de por lo que esta condición es válida para todos .
norte | referencia |
---|---|
3316799 | Lehmer (1947) |
214928639999 | Lehmer (1949) |
Serre (1973, pág.98), Serre (1985) | |
1213229187071998 | Jennings (1993) |
22689242781695999 | Jordan y Kelly (1999) |
22798241520242687999 | Bosman (2007) |
982149821766199295999 | Zeng y Yin (2013) |
816212624008487344127999 | Derickx, van Hoeij y Zeng (2013) |
Notas
- ^ a b Página 4 de Swinnerton-Dyer 1973
- ^ a b c d Debido a Kolberg 1962
- ^ a b Debido a Ashworth 1968
- ^ Debido a Lahivi
- ^ a b Debido a DH Lehmer
- ^ Debido a Ramanujan 1916
- ^ Debido a Wilton 1930
- ^ Debido a J.-P. Serre 1968, Sección 4.5
- ^ Debido a N. Lygeros y O. Rozier 2010
Referencias
- Apostol, TM (1997), "Funciones modulares y series de Dirichlet en la teoría de números", Nueva York: Springer-Verlag 2nd Ed.
- Ashworth, MH (1968), Congruencia y propiedades idénticas de las formas modulares (D. Phil. Thesis, Oxford)
- Dyson, FJ (1972), "Oportunidades perdidas", Bull. Amer. Matemáticas. Soc. , 78 (5): 635–652, doi : 10.1090 / S0002-9904-1972-12971-9 , Zbl 0271.01005
- Kolberg, O. (1962), "Congruencias para la función de Ramanujan τ ( n )", Arbok Univ. Bergen Mat.-Natur. Ser. (11), MR 0.158.873 , Zbl 0.168,29502
- Lehmer, DH (1947), "La desaparición de la función τ (n) de Ramanujan", Duke Math. J. , 14 (2): 429–433, doi : 10.1215 / s0012-7094-47-01436-1 , Zbl 0029.34502
- Lygeros, N. (2010), "Una nueva solución a la ecuación τ (p) ≡ 0 (mod p)" (PDF) , Journal of Integer Sequences , 13 : Artículo 10.7.4
- Mordell, Louis J. (1917), "Sobre las expansiones empíricas de funciones modulares del Sr. Ramanujan". , Actas de la Sociedad Filosófica de Cambridge , 19 : 117-124, JFM 46.0605.01
- Newman, M. (1972), A table of τ (p) módulo p, p prime, 3 ≤ p ≤ 16067 , Oficina Nacional de Normas
- Rankin, Robert A. (1988), "Ramanujan's tau-function and its generalizations", en Andrews, George E. (ed.), Ramanujan revisited (Urbana-Champaign, Ill., 1987) , Boston, MA: Academic Press , págs. 245–268, ISBN 978-0-12-058560-1, MR 0938968
- Ramanujan, Srinivasa (1916), "Sobre ciertas funciones aritméticas", Trans. Camb. Philos. Soc. , 22 (9): 159-184, MR 2280861
- Serre, JP. (1968), "Una interpretación de las congruencias parientes a la función τ {\ Displaystyle \ tau} de Ramanujan " , Séminaire Delange-Pisot-Poitou , 14
- Swinnerton-Dyer, HPF (1973), "Sobre representaciones ℓ-ádicas y congruencias para coeficientes de formas modulares", en Kuyk, Willem; Serre, Jean-Pierre (eds.), Funciones modulares de una variable, III , Lecture Notes in Mathematics, 350 , págs. 1-55, doi : 10.1007 / 978-3-540-37802-0 , ISBN 978-3-540-06483-1, MR 0406931
- Wilton, JR (1930), "Propiedades de congruencia de la función de Ramanujan τ ( n )", Proceedings of the London Mathematical Society , 31 : 1-10, doi : 10.1112 / plms / s2-31.1.1