En matemáticas , una matriz de permutación generalizada (o matriz monomial ) es una matriz con el mismo patrón distinto de cero que una matriz de permutación , es decir, hay exactamente una entrada distinta de cero en cada fila y cada columna. A diferencia de una matriz de permutación, donde la entrada distinta de cero debe ser 1, en una matriz de permutación generalizada la entrada distinta de cero puede ser cualquier valor distinto de cero. Un ejemplo de una matriz de permutación generalizada es
Una matriz invertible A es una matriz de permutación generalizada si y solo si puede escribirse como un producto de una matriz diagonal invertible D y una matriz de permutación P (implícitamente invertible ) : es decir,
El conjunto de matrices de permutación generalizadas n × n con entradas en un campo F forma un subgrupo del grupo lineal general GL( n , F ), en el que el grupo de matrices diagonales no singulares Δ( n , F ) forma un subgrupo normal . De hecho, las matrices de permutación generalizadas son el normalizador de las matrices diagonales, lo que significa que las matrices de permutación generalizadas son el subgrupo más grande de GL( n , F) en el que las matrices diagonales son normales.
El grupo abstracto de matrices de permutación generalizadas es el producto corona de F × y S n . Concretamente, esto significa que es el producto semidirecto de Δ( n , F ) por el grupo simétrico S n :
donde S n actúa permutando coordenadas y las matrices diagonales Δ( n , F ) son isomorfas al producto de n veces ( F × ) n .
Para ser precisos, las matrices de permutación generalizadas son una representación lineal (fiel) de este producto floral abstracto: una realización del grupo abstracto como un subgrupo de matrices.