En matemáticas, una transformación de la función generadora de una secuencia proporciona un método para convertir la función generadora de una secuencia en una función generadora que enumera otra. Estas transformaciones generalmente involucran fórmulas integrales aplicadas a una función generadora de secuencia (ver transformaciones integrales ) o sumas ponderadas sobre las derivadas de orden superior de estas funciones (ver transformaciones derivadas ).
En este artículo, usamos la convención de que la función generadora ordinaria (exponencial) para una secuencia se denota por la función en mayúsculas / para algunos fijos o formales cuando el contexto de esta notación es claro. Además, usamos la notación de corchetes para la extracción de coeficientes de la referencia de Matemáticas Concretas que viene dada por. El artículo principal ofrece ejemplos de funciones generadoras para muchas secuencias. Otros ejemplos de variantes de funciones generadoras incluyen funciones generadoras de Dirichlet (DGF), series de Lambert y series de Newton . En este artículo nos enfocamos en las transformaciones de funciones generadoras en matemáticas y mantenemos una lista actualizada de transformaciones útiles y fórmulas de transformación.
Extraer progresiones aritméticas de una secuencia
El enfoque de esta sección es dar fórmulas para generar funciones que enumeren la secuencia dada una función generadora ordinaria dónde , , y . En los dos primeros casos donde, podemos expandir estas funciones generadoras de progresión aritmética directamente en términos de :
Las siguientes fórmulas para potencias, logaritmos y composiciones de series formales de potencia se expanden mediante estos polinomios con variables en los coeficientes de las funciones generadoras originales. [4] [5] La fórmula para la exponencial de una función generadora viene dada implícitamente a través de los polinomios de Bell por el EGF para estos polinomios definidos en la fórmula anterior para alguna secuencia de.
Recíprocos de un OGF (caso especial de la fórmula de poderes)
La serie de potencias para el recíproco de una función generadora, , se expande por
Si dejamos denotamos los coeficientes en la expansión de la función generadora recíproca, entonces tenemos la siguiente relación de recurrencia:
Poderes de un OGF
Dejar ser arreglado, supongamos que y denotar . Entonces tenemos una expansión en serie para dada por
y los coeficientes satisfacer una relación de recurrencia de la forma
Otra fórmula para los coeficientes, , es expandido por los polinomios de Bell como
Si dejamos y definir , entonces tenemos una expansión en serie de potencias para la función generadora compuesta dada por
donde los coeficientes, , en la expansión anterior satisfacen la relación de recurrencia dada por
y una fórmula correspondiente expandida por los polinomios de Bell en la forma de los coeficientes de la serie de potencias de la siguiente función generadora:
La fórmula de Faà di Bruno
Dejar denotar el EGF de la secuencia, y supongamos que es el EGF de la secuencia, . La secuencia,, generado por la función generadora exponencial para la composición, , se da en términos de los polinomios de Bell exponenciales de la siguiente manera:
Comparamos el enunciado de este resultado con el otro enunciado conocido de la fórmula de Faà di Bruno que proporciona una expansión análoga del derivadas de una función compuesta en términos de las derivadas de las dos funciones de definido como arriba.
Transformaciones integrales
Fórmulas de conversión OGF ⟷ EGF
Tenemos las siguientes fórmulas integrales para que se puede aplicar trimestralmente con respecto a Cuándo se toma como cualquier variable formal de serie de potencias: [6]
Observe que la primera y la última de estas fórmulas integrales se utilizan para convertir entre el EGF al OGF de una secuencia y del OGF al EGF de una secuencia siempre que estas integrales sean convergentes.
La primera fórmula integral corresponde a la transformada de Laplace (oa veces la transformación formal de Laplace-Borel ) de funciones generadoras, denotada por, definido en. [7] Otras representaciones integrales para la función gamma en la segunda de las fórmulas anteriores, por supuesto, también se pueden usar para construir transformaciones integrales similares. Una fórmula en particular resulta en el caso del ejemplo de función factorial doble que se da inmediatamente a continuación en esta sección. La última fórmula integral se compara con la integral de bucle de Hankel para la función gamma recíproca aplicada en términos de términos a la serie de potencias para.
Ejemplo: una integral factorial doble para el EGF de los números de Stirling del segundo tipo
donde una integral para la función factorial doble, o función gamma racional , está dada por
para números naturales . Esta representación integral de entonces implica que para fijo distinto de cero y cualquier poder integral , tenemos la formula
Así, para cualquier entero prescrito , podemos usar la representación integral anterior junto con la fórmula para extraer progresiones aritméticas de una secuencia OGF dada anteriormente, para formular la siguiente representación integral para el llamado número de Stirling modificado EGF como
que es convergente siempre que las condiciones adecuadas en el parámetro . [8]
Ejemplo: una fórmula EGF para las derivadas de orden superior de la serie geométrica
Para fijo distinto de cero definido de tal manera que , sea la serie geométrica sobre las potencias integrales no negativas de ser denotado por . El correspondiente orden superior derivadas de la serie geométrica con respecto a se denotan por la secuencia de funciones
para enteros no negativos . Estas Se puede demostrar que las derivadas de la serie geométrica ordinaria, por ejemplo, por inducción, satisfacen una fórmula explícita de forma cerrada dada por
para cualquier cuando sea . Como ejemplo del tercer OGFFórmula de conversión EGF citada anteriormente, podemos calcular las siguientes formas exponenciales correspondientes de las funciones generadoras:
Integrales fraccionales y derivadas
Las integrales fraccionarias y las derivadas fraccionarias (ver el artículo principal ) forman otra clase generalizada de operaciones de integración y diferenciación que se pueden aplicar al OGF de una secuencia para formar el OGF correspondiente de una secuencia transformada. Paradefinimos el operador integral fraccional (de orden) por la transformación integral [9]
que corresponde a la serie de potencias (formal) dada por
Para fijo definido de tal manera que , tenemos que los operadores . Además, para fijo y enteros satisfactorio podemos definir la noción de derivada fraccionaria que satisfaga las propiedades que
y
por
donde tenemos la propiedad semigrupo que solo cuando ninguno de tiene un valor entero.
Transformaciones de series de polilogaritmos
Para fijo , tenemos que (comparar con el caso especial de la fórmula integral para la función polilogaritmo generalizada de Nielsen definida en [10] ) [11]
Tenga en cuenta que si establecemos , la integral con respecto a la función generadora, , en la última ecuación cuando corresponde a la función generadora de Dirichlet , o DGF,, de la secuencia de siempre que la integral converja. Esta clase de transformaciones integrales relacionadas con polilogaritmos está relacionada con las transformaciones en serie zeta basadas en derivadas definidas en las siguientes secciones.
Transformaciones de funciones generadoras de series cuadradas
Para fijo distinto de cero tal que y , tenemos las siguientes representaciones integrales para la llamada función generadora de series cuadradas asociada con la secuencia, que se puede integrar en términos de términos con respecto a : [12]
Este resultado, que se demuestra en la referencia, se deriva de una variante de la integral de transformación de la función factorial doble para los números de Stirling del segundo tipo que se da como ejemplo anterior. En particular, desde
podemos usar una variante de las transformaciones OGF basadas en derivadas de orden positivo definidas en las siguientes secciones que involucran los números de Stirling del segundo tipo para obtener una fórmula integral para la función generadora de la secuencia,, y luego realice una suma sobre el derivados del formal OGF, para obtener el resultado de la ecuación anterior donde la función generadora de progresión aritmética en cuestión se denota por
para cada fijo .
Productos de Hadamard y funciones de generación de diagonales
Tenemos una representación integral para el producto de Hadamard de dos funciones generadoras, y , expresado en el siguiente formulario:
Más información sobre los productos de Hadamard como funciones generadoras diagonales de secuencias multivariadas y / o funciones generadoras y las clases de funciones generadoras a las que pertenecen estos OGF diagonales se encuentra en el libro de Stanley. [13] La referencia también proporciona fórmulas de extracción de coeficientes anidadas de la forma
que son particularmente útiles en los casos en que las funciones generadoras de la secuencia de componentes, , se puede expandir en una serie Laurent , o una serie fraccionaria, en, como en el caso especial donde todas las funciones generadoras de componentes son racionales, lo que conduce a una forma algebraica de la función generadora diagonal correspondiente.
Ejemplo: productos de Hadamard de funciones generadoras racionales
donde las raíces recíprocas, , son escalares fijos y donde es un polinomio en para todos . Por ejemplo, el producto de Hadamard de las dos funciones generadoras
y
viene dada por la fórmula de la función generadora racional [15]
Ejemplo: transformaciones factoriales (aproximadas de Laplace)
Funciones generadoras ordinarias para funciones factoriales generalizadas formadas como casos especiales de las funciones de producto factorial creciente generalizadas , o símbolo k de Pochhammer , definido por
dónde está arreglado, , y indica que el símbolo de Pochhammer son generados (al menos formalmente) por las fracciones J de tipo Jacobi (o formas especiales de fracciones continuas ) establecidas en la referencia. [16] Si dejamos denotar el convergente a estas fracciones continuas infinitas donde las funciones convergentes componentes se definen para todos los enteros por
y
dónde denota un polinomio de Laguerre asociado , entonces tenemos que el función convergente, , enumera exactamente las secuencias de productos, , para todos . Para cada, la La función convergente se expande como una suma finita que involucra solo recíprocos emparejados de los polinomios de Laguerre en forma de
Además, dado que la función factorial simple está dada por ambos y , podemos generar los términos de la función factorial simple usando las funciones generadoras convergentes racionales aproximadas hasta el orden. Esta observación sugiere un enfoque para aproximar la transformada de Laplace-Borel exacta (formal) generalmente dada en términos de la representación integral de la sección anterior por un producto de Hadamard, o función generadora de coeficiente diagonal. En particular, dado cualquier OGF podemos formar la transformada de Laplace aproximada, que es -orden exacto, por la fórmula de extracción del coeficiente diagonal indicado anteriormente dada por
Ejemplos de secuencias enumeradas a través de estas funciones generadoras de coeficientes diagonales que surgen del multiplicador de la función factorial de secuencia proporcionado por las funciones convergentes racionales incluyen
dónde denota una función de Bessel modificada ,denota la función subfactorial ,denota la función factorial alterna , yes un polinomio de Legendre . Otros ejemplos de secuencias enumeradas a través de aplicaciones de estas funciones generadoras de productos de Hadamard racionales dadas en el artículo incluyen la función G de Barnes , sumas combinatorias que involucran la función factorial doble , secuencias de sumas de potencias y secuencias de binomios.
Transformaciones derivadas
Transformaciones de series zeta de orden positivo y negativo
Para fijo , tenemos que si la secuencia OGF posee derivados de todos los pedidos necesarios para , que la transformación de la serie zeta de orden positivo está dada por [17]
dónde denota un número de Stirling del segundo tipo . En particular, tenemos la siguiente identidad de caso especial cuando Cuándo denota el triángulo de números eulerianos de primer orden : [18]
También podemos expandir las transformaciones de la serie zeta de orden negativo mediante un procedimiento similar a las expansiones anteriores dadas en términos de-orden derivados de algunos y un conjunto infinito, no triangular, de números de Stirling generalizados al revés , o números de Stirling generalizados del segundo tipo definidos dentro de este contexto.
En particular, para enteros , defina estas clases generalizadas de números de Stirling del segundo tipo mediante la fórmula
Entonces para y algunos recetados OGF, , es decir, para que el orden superior derivados de existir para todos , tenemos eso
Una tabla de los primeros coeficientes de transformación de la serie zeta, , aparece a continuación. Estas expansiones de números armónicos ponderados son casi idénticas a las fórmulas conocidas para los números de Stirling del primer tipo hasta el signo principal de los términos numéricos armónicos ponderados en las expansiones.
k
2
3
4
5
6
Ejemplos de transformaciones en series zeta de orden negativo
La siguiente serie relacionada con las funciones de polilogaritmo (las funciones de dilogaritmo y trilogaritmo , respectivamente), la función zeta alterna y la función zeta de Riemann se formulan a partir de los resultados de la serie de orden negativo anterior que se encuentran en las referencias. En particular, cuando (o de manera equivalente, cuando en la tabla anterior), tenemos la siguiente serie de casos especiales para el dilogaritmo y el valor constante correspondiente de la función zeta alterna:
Cuándo (o cuando en la notación utilizada en la subsección anterior), obtenemos igualmente series de casos especiales para estas funciones dadas por
Se sabe que los números armónicos de primer orden tienen una función generadora exponencial de forma cerrada expandida en términos del logaritmo natural , la función gamma incompleta y la integral exponencial dada por
Representaciones en serie adicionales para las funciones generadoras exponenciales de números armónicos de orden r para enterosse forman como casos especiales de estos resultados de transformación en serie basados en derivadas de orden negativo. Por ejemplo, los números armónicos de segundo orden tienen una función generadora exponencial correspondiente expandida por la serie
Transformaciones generalizadas de series zeta de orden negativo
Una generalización adicional de las transformaciones en serie de orden negativo definidas anteriormente está relacionada con funciones generadoras de tipo Hurwitz-zeta o Lerch-trascendente . Específicamente, si definimos los números de Stirling parametrizados aún más generales del segundo tipo por
,
para distinto de cero tal que , y algunos arreglados , tenemos eso
Además, para cualquier número entero , tenemos las aproximaciones de series parciales a la serie infinita completa en la ecuación anterior dada por
Ejemplos de transformaciones generalizadas de series zeta de orden negativo
Las series para constantes especiales y funciones relacionadas con zeta que resultan de estas transformaciones en serie generalizadas basadas en derivadas generalmente involucran los números armónicos generalizados de orden r definidos por para enteros . Un par de expansiones de series particulares para las siguientes constantes cuandoSe fija el seguimiento de casos especiales de identidades de tipo BBP como
Varias otras series para los casos relacionados con la función zeta de la función chi de Legendre , la función poligamma y la función zeta de Riemann incluyen
Además, podemos dar otra nueva representación en serie explícita de la función tangente inversa a través de su relación con los números de Fibonacci [19] expandidos como en las referencias por
por y donde la proporción áurea (y su recíproco) se definen respectivamente por.
Relaciones de inversión e identidades de funciones generadoras
Relaciones de inversión
Una relación de inversión es un par de ecuaciones de la forma
que es equivalente a la relación de ortogonalidad
Dadas dos secuencias, y , relacionado por una relación inversa de la forma anterior, a veces buscamos relacionar los OGF y EGF del par de secuencias mediante ecuaciones funcionales implícitas en la relación de inversión. Este objetivo en algunos aspectos refleja la relación de función generadora más teórica de números ( serie de Lambert ) garantizada por la fórmula de inversión de Möbius , que establece que siempre que
las funciones generadoras de las secuencias, y , están relacionados por la transformada de Möbius dada por
De manera similar, la transformada de Euler de funciones generadoras para dos secuencias, y , satisfaciendo la relación [20]
se da en forma de
donde las fórmulas de inversión correspondientes entre las dos secuencias se dan en la referencia.
El resto de los resultados y ejemplos dados en esta sección esbozan algunas de las transformaciones de funciones generadoras más conocidas proporcionadas por secuencias relacionadas por fórmulas de inversión (la transformada binomial y la transformada de Stirling ), y proporciona varias tablas de relaciones de inversión conocidas de varios tipos. citado en el libro Combinatorial Identities de Riordan . En muchos casos, omitimos las ecuaciones funcionales correspondientes implícitas en las relaciones de inversión entre dos secuencias ( esta parte del artículo necesita más trabajo ).
La transformada binomial
La primera relación de inversión proporcionada a continuación implícita a la transformada binomial es quizás la más simple de todas las relaciones de inversión que consideraremos en esta sección. Para dos secuencias cualesquiera, y , relacionado por las fórmulas de inversión
tenemos ecuaciones funcionales entre los OGF y los EGF de estas secuencias proporcionadas por la transformada binomial en las formas de
y
La transformación de Stirling
Para cualquier par de secuencias, y , relacionado por la fórmula de inversión de números de Stirling
estas relaciones de inversión entre las dos secuencias se traducen en ecuaciones funcionales entre los EGF de secuencia dados por la transformada de Stirling como
y
Tablas de pares de inversión del libro de Riordan
Estas tablas aparecen en los capítulos 2 y 3 del libro de Riordan, proporcionando una introducción a las relaciones inversas con muchos ejemplos, aunque sin enfatizar las ecuaciones funcionales entre las funciones generadoras de secuencias relacionadas por estas relaciones de inversión. Se anima al lector interesado a recoger una copia del libro original para obtener más detalles.
Varias formas de las relaciones inversas más simples
Relación
Fórmula
Fórmula inversa
Funciones generadoras (OGF)
Funciones generadoras (EGF)
Notas / referencias
1
Ver la transformación Binomial
2
3
4
5
6
7
8
Ver. [21]
9
Generalización de la transformada binomial para tal que .
10
La -transformada binomial (ver [22] )
11
La caída-transformada binomial (consulte el artículo de Spivey en [22] )
12
El levantamiento-transformada binomial (consulte el artículo de Spivey en [22] )
Clases de Gould de relaciones inversas
Los términos, y , en las fórmulas de inversión de la forma
formando varios casos especiales de clases de Gould de relaciones inversas se dan en la siguiente tabla.
Clase
1
2
3
4
Para las clases 1 y 2, el rango de la suma satisface , y para las clases 3 y 4 los límites de la suma vienen dados por . Estos términos también están algo simplificados de sus formas originales en la tabla por las identidades
Las relaciones inversas de Chebyshev más simples
Los casos denominados más simples de las clases de relaciones inversas de Chebyshev en la subsección siguiente se dan en la siguiente tabla.
Relación
Fórmula para
Fórmula inversa para
1
2
3
4
5
6
7
Las fórmulas de la tabla están algo simplificadas por las siguientes identidades:
Además, las relaciones de inversión dadas en la tabla también se mantienen cuando en cualquier relación dada.
Clases de Chebyshev de relaciones inversas
Los términos, y , en las fórmulas de inversión de la forma
para enteros distintos de cero formando varios casos especiales de Chebyshev clases de relaciones inversas se dan en la siguiente tabla.
Clase
1
2
3
4
Además, estas relaciones de inversión también se mantienen cuando para algunos o cuando el factor de signo de se desplaza de los términos a los términos . Las fórmulas dadas en la tabla anterior están algo simplificadas por las identidades
Las relaciones inversas de Legendre más simples
Relación
Fórmula para
Fórmula inversa para
1
2
3
4
5
6
7
8
Clases de Legendre-Chebyshev de relaciones inversas
Las clases de Legendre-Chebyshev de relaciones inversas corresponden a relaciones de inversión de la forma
donde los términos, y , dependen implícitamente de algún valor fijo distinto de cero . En general, dada una clase de pares inversos de Chebyshev de la forma
Si un primo, la sustitución de , , y (posiblemente reemplazando ) conduce a un par Legendre-Chebyshev de la forma [23]
Del mismo modo, si el entero positivo es compuesto, podemos derivar pares de inversión de la forma
La siguiente tabla resume varias clases generalizadas de relaciones inversas de Legendre-Chebyshev para algún número entero distinto de cero .
Clase
1
2
3
4
5
6
7
8
Relaciones inversas de Abel
Las relaciones inversas de Abel corresponden a pares inversos de Abel de la forma
donde los términos, y , puede variar implícitamente con algún parámetro de suma indeterminado . Estas relaciones también se mantienen si la sustitución del coeficiente binomial de se realiza para algún entero no negativo . La siguiente tabla resume varias formas notables de estas relaciones inversas de Abel.
Número
Generando identidad de función
1
2
3
3a
4
4a
5
Relaciones inversas derivadas de funciones generadoras ordinarias
Si dejamos que los números de Fibonacci convolucionados ,, ser definido por
tenemos la siguiente tabla de relaciones inversas que se obtienen de las propiedades de las funciones generadoras de secuencias ordinarias probadas como en la sección 3.3 del libro de Riordan.
Relación
Fórmula para
Fórmula inversa para
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Tenga en cuenta que las relaciones 3, 4, 5 y 6 en la tabla se pueden transformar de acuerdo con las sustituciones y para algún entero fijo distinto de cero .
Relaciones inversas derivadas de funciones generadoras exponenciales
Dejar y denotan los números de Bernoulli y los números de Euler , respectivamente, y suponga que las sucesiones,, , y se definen mediante las siguientes funciones generadoras exponenciales: [24]
La siguiente tabla resume varios casos notables de relaciones de inversión obtenidas de funciones generadoras exponenciales en la sección 3.4 del libro de Riordan. [25]
Relación
Fórmula para
Fórmula inversa para
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Inversas multinomiales
Las relaciones inversas utilizadas en la formulación de la transformada binomial citada en la subsección anterior se generalizan a las correspondientes relaciones inversas de dos índices para secuencias de dos índices, y a fórmulas de inversión multinomial para secuencias deíndices que involucran los coeficientes binomiales en Riordan. [26] En particular, tenemos la forma de una relación inversa de dos índices dada por
y la forma más general de un par multinomial de fórmulas de inversión dada por
Notas
^ Consulte la Sección 1.2.9 en El arte de la programación informática de Knuth(Vol. 1).
^ Solución del ejercicio 7.36 en la página 569 en Graham, Knuth y Patshnik.
^ Ver sección 3.3 en Comtet.
^ Consulte las secciones 3.3–3.4 en Comtet.
^ Consulte la sección 1.9 (vi) del Manual de NIST.
^ Consulte la página 566 de Graham, Knuth y Patashnik para ver el enunciado de la última fórmula de conversión.
^ Véase el apéndice B.13 de Flajolet y Sedgewick.
^ Consulte la demostración del teorema 2.3 en Math.NT / 1609.02803 .
^ Consulte la sección 1.15 (vi) - (vii) en el Manual de NIST .
^ Weisstein, Eric W. "Polilogaritmo generalizado de Nielsen" . MathWorld .
^ Véase la ecuación (4) en la sección 2 del artículo de Borwein, Borwein y Girgensohn Evaluación explícita de las sumas de Euler (1994).
^ Consulte el artículo Math.NT / 1609.02803 .
^ Consulte la sección 6.3 en el libro de Stanley.
^ Ver la sección 2.4 en el libro de Lando.
^Potekhina, EA (2017). "Aplicación del producto Hadamard a algunos problemas combinatorios y probabilísticos". Discr. Matemáticas. Apl . 27 (3): 177–186. doi : 10.1515 / dma-2017-0020 . S2CID 125969602 .
^Schmidt, MD (2017). "Fracciones continuas tipo Jacobi para funciones generadoras ordinarias de funciones factoriales generalizadas" . J. Int. Seq . 20 : 17.3.4. arXiv : 1610.09691 .
^ Vea la prueba inductiva dada en la sección 2 de Math.NT / 1609.02803 .
^ Consulte la tabla en la sección 7.4 de Graham, Knuth y Patashnik.
^ Consulte la ecuación (30) en la página MathWorld para conocer la función de tangente inversa.
^Weisstein, E. "Transformada de Euler" . MathWorld .
^ Solución del ejercicio 5.71 de Matemáticas concretas .
^ a b cSpivey, MZ (2006). "Las transformadas k-binomiales y la transformada de Hankel" . Diario de secuencias de enteros . 9 (Artículo 06.1.1).
^ Ver la sección 2.5 de Riordan
^ Consulte la sección 3.4 en Riordan.
^ Compare con las fórmulas de inversión dadas en la sección 24.5 (iii) del Manual de NIST .
^ Ver la sección 3.5 en el libro de Riordan.
Referencias
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Graham, Knuth y Patashnik (1994). Matemáticas concretas: una base para la informática (2ª ed.). Addison-Wesley. ISBN 0201558025.
Knuth, DE (1997). El arte de la programación informática: algoritmos fundamentales . 1 . Addison-Wesley. ISBN 0-201-89683-4.
Lando, SK (2002). Conferencias sobre generación de funciones . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-3481-9.
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Schmidt, MD (2017). "Fracciones continuas de tipo Jacobi para las funciones generadoras ordinarias de funciones factoriales generalizadas" . Diario de secuencias de enteros . 20 .
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