En matemáticas , un contorno de Hankel es una trayectoria en el plano complejo que se extiende desde (+ ∞, δ), alrededor del origen en sentido antihorario y de regreso a (+ ∞, −δ), donde δ es un número positivo arbitrariamente pequeño. Por lo tanto, el contorno permanece arbitrariamente cerca del eje real pero sin cruzar el eje real excepto para los valores negativos de x. El contorno de Hankel también se puede representar mediante una trayectoria que tiene imágenes de espejo justo encima y debajo del eje real, conectado a un círculo de radio ε, centrado en el origen, donde ε es un número arbitrariamente pequeño. Se dice que las dos porciones lineales del contorno están a una distancia de δ del eje real. Por tanto, la distancia total entre las porciones lineales del contorno es 2δ. [1] El contorno se atraviesa en el sentido de orientación positiva, lo que significa que el círculo alrededor del origen se atraviesa en sentido antihorario.
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/7/76/Hankel_Pic.png/220px-Hankel_Pic.png)
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/4/43/Hankel_contour.png)
El uso de contornos de Hankel es uno de los métodos de integración de contornos . Este tipo de camino para integrales de contorno fue utilizado por primera vez por Hermann Hankel en sus investigaciones de la función Gamma .
El contorno de Hankel se utiliza para evaluar integrales como la función Gamma, la función zeta de Riemann y otras funciones de Hankel (que son funciones de Bessel del tercer tipo). [1] [2]
Aplicaciones
El contorno de Hankel y la función Gamma
El contorno de Hankel es útil para expresar y resolver la función Gamma en el plano t complejo . La función Gamma se puede definir para cualquier valor complejo en el plano si evaluamos la integral a lo largo del contorno de Hankel. El contorno de Hankel es especialmente útil para expresar la función Gamma para cualquier valor complejo porque los puntos finales del contorno se desvanecen y, por lo tanto, permite satisfacer la propiedad fundamental de la función Gamma, que establece. [2]
Derivación de la expresión integral de contorno de la función Gamma [2]
Tenga en cuenta que la representación formal de la función Gamma es .
Para satisfacer la propiedad fundamental de la función Gamma, se sigue que
después de multiplicar ambos lados por z.
Por lo tanto, dado que los puntos finales del contorno de Hankel desaparecen, los lados izquierdo y derecho se reducen a
.
Usando ecuaciones diferenciales ,
se convierte en la solución general. Si bien A es constante con respecto a t , sostiene que A puede fluctuar dependiendo del número complejo z . Dado que A (z) es arbitrario, una exponencial compleja en z puede ser absorbida en la definición de A (z). Sustituyendo f (t) en la integral original entonces da.
Al integrarse a lo largo del contorno de Hankel, la expresión integral del contorno de la función Gamma se convierte en . [2]
Referencias
- ↑ a b Krantz, Steven G. (Steven George), 1951- (1999). Manual de variables complejas . Boston, Mass .: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4011-8. OCLC 40964730 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ a b c d Moretti, Gino (1964). Funciones de una variable compleja . Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall, Inc. págs. 179–184. LCCN 64012240 .
Otras lecturas
- Schmelzer, Thomas; Trefethen, Lloyd N. (2007-01). "Cálculo de la función gamma utilizando integrales de contorno y aproximaciones racionales". Revista SIAM de Análisis Numérico. 45 (2): 558–571. doi : 10.1137 / 050646342 . ISSN 0036-1429 .
- Hugh L. Montgomery ; Robert C. Vaughan (2007). Teoría de números multiplicativos I. Teoría clásica . Tratados de Cambridge en matemáticas avanzadas. 97 . pag. 515. ISBN 0-521-84903-9 .
enlaces externos
- http://mathworld.wolfram.com/HankelContour.html
- Biblioteca digital de funciones matemáticas del NIST: Función gamma: Representación integral