En matemáticas , la función gamma recíproca es la función
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/d/dd/Rgamma_plot_real.png/250px-Rgamma_plot_real.png)
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/1/15/Complex_Reciprocal_Gamma.jpg/440px-Complex_Reciprocal_Gamma.jpg)
donde Γ ( z ) denota la función gamma . Dado que la función gamma es meromórfica y distinta de cero en todas partes del plano complejo , su recíproca es una función completa . Como función completa, es de orden 1 (lo que significa que log log | 1 / Γ ( z ) | no crece más rápido que log | z | ), pero de tipo infinito (lo que significa que log | 1 / Γ ( z ) | crece más rápido que cualquier múltiplo de | z | , ya que su crecimiento es aproximadamente proporcional a | z | log | z | en el plano de la izquierda).
El recíproco se utiliza a veces como punto de partida para el cálculo numérico de la función gamma, y algunas bibliotecas de software lo proporcionan por separado de la función gamma regular.
Karl Weierstrass llamó a la función gamma recíproca "factorielle" y la utilizó en su desarrollo del teorema de factorización de Weierstrass .
Expansión infinita de productos
Siguiendo las definiciones de productos infinitos para la función gamma , debido a Euler y Weierstrass respectivamente, obtenemos la siguiente expansión de producto infinito para la función gamma recíproca:
donde γ ≈ 0.577216 ... es la constante de Euler-Mascheroni . Estas expansiones son válidas para todos los números complejos z .
Serie de taylor
La expansión de la serie de Taylor alrededor de 0 da: [1]
donde γ es la constante de Euler-Mascheroni . Para n > 2 , el coeficiente a n para el término z n se puede calcular de forma recursiva como [2] [3]
donde ζ ( s ) es la función zeta de Riemann . Fekih-Ahmed (2014) encontró recientemente una representación integral de estos coeficientes: [3]
Para valores pequeños, estos dan los siguientes valores:
norte | un n |
---|---|
1 | +1.0000000000000000000000000000000000000000 |
2 | +0.5772156649015328606065120900824024310422 |
3 | −0,6558780715202538810770195151453904812798 |
4 | −0.0420026350340952355290039348754298187114 |
5 | +0.1665386113822914895017007951021052357178 |
6 | −0.0421977345555443367482083012891873913017 |
7 | −0,0096219715278769735621149216723481989754 |
8 | +0,0072189432466630995423950103404465727099 |
9 | −0,0011651675918590651121139710840183886668 |
10 | −0.0002152416741149509728157299630536478065 |
11 | +0.0001280502823881161861531986263281643234 |
12 | −0,0000201348547807882386556893914210218184 |
13 | −0,0000012504934821426706573453594738330922 |
14 | +0,0000011330272319816958823741296203307449 |
15 | −0,0000002056338416977607103450154130020573 |
dieciséis | +0,0000000061160951044814158178624986828553 |
17 | +0,0000000050020076444692229300556650480600 |
18 | −0,0000000011812745704870201445881265654365 |
19 | +0,0000000001043426711691100510491540332312 |
20 | +0,0000000000077822634399050712540499373114 |
21 | −0,0000000000036968056186422057081878158781 |
22 | +0,0000000000005100370287454475979015481323 |
23 | −0,0000000000000205832605356650678322242954 |
24 | −0,0000000000000053481225394230179823700173 |
25 | +0,0000000000000012267786282382607901588938 |
26 | −0,0000000000000001181259301697458769513765 |
27 | +0,0000000000000000011866922547516003325798 |
28 | +0,0000000000000000014123806553180317815558 |
29 | −0,0000000000000000002298745684435370206592 |
30 | +0,0000000000000000000171440632192733743338 |
Fekih-Ahmed (2014) [3] también da una aproximación para:
dónde y es la primera rama menos de la función W de Lambert .
La expansión de Taylor alrededor de 1 tiene los mismos coeficientes (pero desplazados), es decir:
(el recíproco de la función pi de Gauss ).
Expansión asintótica
Como | z | va al infinito en una constante arg ( z ) tenemos:
Representación integral de contorno
Una representación integral debida a Hermann Hankel es
donde H es el contorno de Hankel , es decir, la trayectoria que rodea a 0 en la dirección positiva, comenzando en el infinito positivo y volviendo a él con respecto a la rama cortada a lo largo del eje real positivo. Según Schmelzer & Trefethen, [4] la evaluación numérica de la integral de Hankel es la base de algunos de los mejores métodos para calcular la función gamma.
Representaciones integrales en los enteros positivos
Para enteros positivos , hay una integral para la función factorial recíproca dada por [5]
Del mismo modo, para cualquier y tenemos la siguiente integral para la función gamma recíproca a lo largo del eje real en forma de [6] [ fuente no confiable? ] :
donde el caso particular cuando proporciona una relación correspondiente para la función factorial doble recíproca ,
Integral a lo largo del eje real
La integración de la función gamma recíproca a lo largo del eje real positivo da el valor
lo que se conoce como la constante de Fransén-Robinson .
Ver también
Referencias
- ^ Weisstein, Eric W. "Función gamma" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 15 de junio de 2021 .
- ^ Llave inglesa, JW (1968). "Respecto a dos series para la función gamma". Matemáticas de la Computación . 22 : 617–626. y
Llave inglesa, JW (1973). "Errata: relativa a dos series para la función gamma". Matemáticas de la Computación . 27 : 681–682. - ^ a b c Fekih-Ahmed, L. (2014). "Sobre la expansión de la serie de potencia de la función gamma recíproca" . Archivos HAL .
- ^ Schmelzer, Thomas; Trefethen, Lloyd N. (2007). "Calcular la función Gamma utilizando integrales de contorno y aproximaciones racionales" . Revista SIAM de Análisis Numérico . Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas. 45 (2): 558–571. doi : 10.1137 / 050646342 .; "Copia en el sitio web académico de Trefethen" (PDF) . Matemáticas, Oxford, Reino Unido . Consultado el 3 de agosto de 2020 .; "Enlace a otras dos copias" . CiteSeerX .
- ^ Graham, Knuth y Patashnik (1994). Matemáticas concretas . Addison-Wesley. pag. 566.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ "Fórmula integral para 1 / Γ ( z ) {\ Displaystyle 1 / \ Gamma (z)} " . Intercambio de pila de matemáticas .
- Mette Lund, una integral para la función Gamma recíproca
- Milton Abramowitz e Irene A. Stegun, Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas
- Eric W. Weisstein , función gamma , MathWorld