En la geometría algebraica y álgebra conmutativa , los teoremas de planeidad genérico y grado de refino genérico estado que bajo ciertas hipótesis, una gavilla de módulos en un esquema es plana o libre . Se deben a Alexander Grothendieck .
La planitud genérica establece que si Y es un esquema integral localmente noetheriano, u : X → Y es un morfismo de esquemas de tipo finito, y F es un módulo O X coherente , entonces hay un subconjunto abierto no vacío U de Y tal que la restricción de F a u -1 ( U ) es plana sobre U . [1]
Debido a que Y es integral, U es un subconjunto abierto densa de Y . Esto se puede aplicar para deducir una variante de planitud genérica que es verdadera cuando la base no es integral. [2] Suponga que S es un esquema noetheriano, u : X → S es un morfismo de tipo finito y F es un módulo coherente de O X. Entonces existe una partición de S en subconjuntos cerrados localmente S 1 , ..., S n con la siguiente propiedad: Dar a cada S i su estructura de esquema reducido, denotar por X i el producto de fibra X × S S i , y denotar por F i la restricción F ⊗ O S O S i ; entonces cada F i es plano.
Freeness genérico
La planitud genérica es una consecuencia del lema genérico de libertad. La libertad genérica establece que si A es un dominio integral noetheriano , B es un álgebra A de tipo finito y M es un módulo B de tipo finito , entonces existe un elemento f distinto de cero de A tal que M f es un A libre módulo f . [3] La libertad genérica se puede extender a la situación graduada: si B está calificado por los números naturales, A actúa en grado cero y M es un módulo B calificado , entonces f puede elegirse de manera que cada componente calificado de M f está libre. [4]
La libertad genérica se demuestra utilizando la técnica de dévissage de Grothendieck . Consulte el lema de normalización de Noether # Aplicación ilustrativa: libertad genérica para una prueba de una versión de libertad genérica.
Referencias
Bibliografía
- Eisenbud, David (1995), Álgebra conmutativa con miras a la geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas, 150 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
- Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1965). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Seconde partie" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 24 . doi : 10.1007 / bf02684322 . Señor 0199181 .