En matemáticas , específicamente en geometría algebraica , el producto de fibra de los esquemas es una construcción fundamental. Tiene muchas interpretaciones y casos especiales. Por ejemplo, el producto de fibra describe cómo una variedad algebraica en un campo determina una variedad en un campo más grande, o el retroceso de una familia de variedades, o una fibra de una familia de variedades. El cambio de base es una noción estrechamente relacionada.
Definición
La categoría de esquemas es un escenario amplio para la geometría algebraica. Una filosofía fructífera (conocida como el punto de vista relativo de Grothendieck ) es que gran parte de la geometría algebraica debería desarrollarse para un morfismo de esquemas X → Y (llamado esquema X sobre Y ), en lugar de para un esquema X único . Por ejemplo, en lugar de simplemente estudiar las curvas algebraicas , se puede estudiar familias de curvas por encima de cualquier esquema de base de Y . De hecho, los dos enfoques se enriquecen mutuamente.
En particular, un esquema sobre un anillo conmutativo R significa un esquema X junto con un morfismo X → Spec ( R ). La noción más antigua de una variedad algebraica sobre un campo k es equivalente a un esquema sobre k con ciertas propiedades. (Existen diferentes convenciones para exactamente qué esquemas deben llamarse "variedades". Una opción estándar es que una variedad sobre un campo k significa un esquema separado integral de tipo finito sobre k . [1] )
En general, un morfismo de esquemas X → Y puede ser imaginado como una familia de esquemas parametrizada por los puntos de Y . Dado un morfismo de algún otro esquema de Z a Y , no debería ser una familia "retroceso" de los esquemas más Z . Este es exactamente el producto de fibra X × Y Z → Z .
Formalmente: es una propiedad útil de la categoría de esquemas que el producto de fibra siempre existe. [2] Es decir, para cualquier morfismo de los esquemas X → Y y Z → Y , hay un esquema X × Y Z con morfismos a X y Z , lo que hace que el diagrama
conmutativo , y que es universal con esa propiedad. Es decir, para cualquier esquema W con morfismos a X y Z cuyas composiciones a Y son iguales, existe un morfismo único de W a X × Y Z que hace que el diagrama se conmute. Como siempre ocurre con las propiedades universales, esta condición determina el esquema X × Y Z hasta un isomorfismo único, si existe. La prueba de que los productos de fibra de los esquemas siempre existen reduce el problema al producto tensorial de los anillos conmutativos (cf. esquemas de encolado ). En particular, cuando X , Y y Z son todos esquemas afines , entonces X = Spec ( A ), Y = Spec ( B ) y Z = Spec ( C ) para algunos anillos conmutativos A , B , C , el producto de fibra es el esquema afín
El morfismo X × Y Z → Z se llama el cambio de base o retroceso del morfismo X → Y a través de la morfismo Z → Y .
Interpretaciones y casos especiales
- En la categoría de esquemas sobre un campo k , el producto X × Y significa el producto de fibra X × k Y (que es la abreviatura del producto de fibra sobre Spec ( k )). Por ejemplo, el producto de los espacios afines A m y A n sobre un campo k es el espacio afín A m + n sobre k .
- Para un esquema X sobre un campo k y cualquier extensión de campo E de k , el cambio de base X E significa el producto de fibra X × Spec ( k ) Spec ( E ). Aquí X E es un esquema sobre E . Por ejemplo, si X es la curva en el plano proyectivo P2
Rsobre los números reales R definidos por la ecuación xy 2 = 7 z 3 , entonces X C es la curva compleja en P2
Cdefinido por la misma ecuación. Muchas propiedades de una variedad algebraica sobre un campo k se pueden definir en términos de su cambio de base al cierre algebraico de k , lo que simplifica la situación. - Deje f : X → Y sea un morfismo de esquemas, y dejar y ser un punto en Y . Entonces hay un morfismo Spec ( k ( y )) → Y con imagen y , donde k ( y ) es el campo de residuos de y . La fibra de f sobre y se define como el producto de fibra X × Y Spec ( k ( y )); este es un esquema sobre el campo k ( y ). [3] Este concepto ayuda a justificar la idea aproximada de un morfismo de esquemas X → Y como una familia de esquemas parametrizada por S .
- Sean X , Y y Z esquemas sobre un campo k , con morfismos X → Y y Z → Y sobre k . Entonces, el conjunto de k - puntos racionales del producto de fibra X x Y Z es fácil de describir:
- Es decir, un k -punto de X x Y Z puede ser identificado con un par de k -puntos de X y Z que tienen la misma imagen en Y . Esto es inmediato de la propiedad universal del producto de fibra de esquemas.
- Si X y Z son subesquemas cerrados de un esquema Y , entonces el producto de fibra X x Y Z es exactamente la intersección X ∩ Z , con su estructura de esquema natural. [4] Lo mismo ocurre con los subesquemas abiertos.
Cambio de base y descenso
Algunas propiedades importantes P de los morfismos de los esquemas se conservan bajo un cambio de base arbitrario . Es decir, si X → Y tiene la propiedad P y Z → Y es cualquier morfismo de esquemas, entonces el cambio de base X x Y Z → Z tiene la propiedad P. Por ejemplo, morfismos planos , morfismos suaves , morfismos propios y muchas otras clases de los morfismos se conservan bajo un cambio de base arbitrario. [5]
La palabra descendencia se refiere a la pregunta inversa: si el morfismo retraído X x Y Z → Z tiene alguna propiedad P, ¿el morfismo original X → Y debe tener la propiedad P? Claramente, esto es imposible en general: por ejemplo, Z podría ser el esquema vacío, en cuyo caso el morfismo retirado pierde toda la información sobre el morfismo original. Pero si el morfismo Z → Y es plana y sobreyectiva (también llamado fielmente plana ) y cuasi-compacto , entonces muchas propiedades hacen descender de Z a Y . Las propiedades que descienden incluyen planitud, suavidad, propiedad y muchas otras clases de morfismos. [6] Estos resultados forman parte de la teoría de Grothendieck del descenso fielmente plano .
Ejemplo: para cualquier extensión de campo k ⊂ E , el morfismo Spec ( E ) → Spec ( k ) es fielmente plano y casi compacto. Por lo que los resultados de descenso mencionan implica que un esquema X sobre k es suavizar k si y sólo si el cambio de base X E es suavizar E . Lo mismo ocurre con la propiedad y muchas otras propiedades.
Notas
- ^ Proyecto de pilas, etiqueta 020D.
- ^ Grothendieck, EGA I, Théorème 3.2.6; Hartshorne (1977), Teorema II.3.3.
- ^ Hartshorne (1977), sección II.3.
- ^ Proyecto de pilas, etiqueta 0C4I.
- ^ Proyecto de pilas, etiqueta 02WE.
- ^ Proyecto de pilas, etiqueta 02YJ.
Referencias
- Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 4 . doi : 10.1007 / bf02684778 . Señor 0217083 .
- Hartshorne, Robin (1977), Geometría Algebraica , Textos de Posgrado en Matemáticas , 52 , Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
enlaces externos
- Autores del proyecto Stacks, Proyecto Stacks