fórmula género-grado

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En geometría algebraica clásica , la fórmula género-grado relaciona el grado d de una curva plana irreducible con su género aritmético g mediante la fórmula:${\ estilo de visualización C}$

Aquí "curva plana" significa que es una curva cerrada en el plano proyectivo . Si la curva no es singular, el género geométrico y el género aritmético son iguales, pero si la curva es singular, con solo singularidades ordinarias, el género geométrico es más pequeño. Más precisamente, una singularidad ordinaria de multiplicidad r disminuye el género en . ^[1]${\ estilo de visualización C}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {P} ^ {2}}$${\displaystyle {\frac{1}{2}}r(r-1)}$

La prueba se sigue inmediatamente de la fórmula adjunta . ^{[ aclaración necesaria ]} Para una prueba clásica ver el libro de Arbarello, Cornalba, Griffiths y Harris.

Para una hipersuperficie no singular de grado d en el espacio proyectivo de género aritmético g la fórmula se convierte en:${\ estilo de visualización H}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {P} ^ {n}}$

donde es el coeficiente binomial .${\displaystyle {\tbinom {d-1}{n}}}$

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