En matemáticas , especialmente en geometría algebraica y la teoría de variedades complejas , la fórmula adjunta relaciona el paquete canónico de una variedad y una hipersuperficie dentro de esa variedad. A menudo se utiliza para deducir hechos sobre variedades incrustadas en espacios de buen comportamiento como el espacio proyectivo o para probar teoremas por inducción.
Adjunto para variedades suaves
Fórmula para una subvariedad suave
Deje que X sea un suave variedad algebraica o suavizar colector complejo y Y sea una subvariedad lisa de X . Denote el mapa de inclusión Y → X por i y el haz ideal de Y en X por. La secuencia conormal exacta para i es
donde Ω denota un paquete cotangente . El determinante de esta secuencia exacta es un isomorfismo natural.
dónde denota el dual de un paquete de líneas.
El caso particular de un divisor suave
Supongamos que D es un suave divisor en X . Su paquete normal se extiende a un paquete de líneas en X , y la gavilla ideal de D corresponde a su doble. El paquete conormal es , que, combinado con la fórmula anterior, da
En términos de clases canónicas, esto dice que
Ambas de estas dos fórmulas se denominan fórmula adjunta .
Ejemplos de
Hiperuperficies grado d
Dado un grado suave hipersuperficie podemos calcular sus paquetes canónicos y anti-canónicos usando la fórmula adjunta. Esto se lee como
que es isomorfo a .
Intersecciones completas
Para una intersección completa y suave de grados , el paquete conormal es isomorfo a , entonces el paquete determinante es y su dual es , mostrando
Esto se generaliza de la misma manera para todas las intersecciones completas.
Curvas en una superficie cuadrática
incrusta en como una superficie cuadrática dada por el lugar de fuga de un polinomio cuadrático que proviene de una matriz simétrica no singular. [1] Entonces podemos restringir nuestra atención a las curvas en. Podemos calcular el paquete cotangente de usando la suma directa de los paquetes cotangentes en cada , así es . Entonces, la gavilla canónica viene dada por, que se puede encontrar utilizando la descomposición de cuñas de sumas directas de paquetes de vectores. Luego, usando la fórmula adjunta, una curva definida por el lugar de fuga de una sección, se puede calcular como
Residuo de poincaré
El mapa de restricciones se llama residuo de Poincaré . Suponga que X es una variedad compleja. Luego, en las secciones, el residuo de Poincaré se puede expresar de la siguiente manera. Fije un conjunto abierto U en el que D está dado por la desaparición de una función f . Cualquier sección sobre U depuede escribirse como s / f , donde s es una función holomorfa en U . Deje η ser una sección sobre U de ω X . El residuo de Poincaré es el mapa
es decir, se forma aplicando el campo vectorial ∂ / ∂ f a la forma de volumen η, luego multiplicando por la función holomórfica s . Si U admite coordenadas locales z 1 , ..., z n tales que para algún i , ∂ f / ∂ z i ≠ 0 , entonces esto también se puede expresar como
Otra forma de ver el residuo de Poincaré primero reinterpreta la fórmula adjunta como un isomorfismo
En un conjunto abierto U como antes, una sección dees el producto de una función holomórfica s con la forma df / f . El residuo de Poincaré es el mapa que toma el producto de la cuña de una sección de ω D y una sección de.
Inversión de adjunción
La fórmula adjunta es falsa cuando la secuencia exacta conormal no es una secuencia exacta corta. Sin embargo, es posible utilizar este fracaso para relacionar las singularidades de X con las singularidades de D . Los teoremas de este tipo se denominan inversión de adjunción . Son una herramienta importante en la geometría biracional moderna.
El divisor canónico de una curva plana
Dejar ser una curva plana suave recortada en un grado polinomio homogéneo . Afirmamos que el divisor canónico es dónde es el divisor del hiperplano.
Primer trabajo en el gráfico afín . La ecuación se convierte en dónde y . Calcularemos explícitamente el divisor de la diferencial
En cualquier punto ya sea entonces es un parámetro local o entonces es un parámetro local. En ambos casos el orden de desaparición deen el punto es cero. Así, todas las contribuciones al divisor están en la línea en el infinito, .
Ahora mira en la linea . Asumir que por lo que basta con mirar en el gráfico con coordenadas y . La ecuación de la curva se convierte en
Por eso
entonces
con orden de desaparecer . Por eso que concuerda con la fórmula adjunta.
Aplicaciones a curvas
La fórmula de grado de género para curvas planas se puede deducir de la fórmula de adjunción. [2] Sea C ⊂ P 2 una curva plana suave de grado d y género g . Sea H la clase de un hiperplano en P 2 , es decir, la clase de una recta. La clase canónica de P 2 es -3 H . En consecuencia, según la fórmula adjunción que la restricción de ( d - 3) H a C es igual a la clase canónica de C . Esta restricción es la misma que el producto de intersección ( d - 3) H · dH restringido a C , por lo que el grado de la clase canónica de C es d ( d −3) . Según el teorema de Riemann-Roch , g - 1 = ( d −3) d - g + 1 , que implica la fórmula
De manera similar, [3] si C es una curva suave en la superficie cuádrica P 1 × P 1 con bidegree ( d 1 , d 2 ) (es decir, d 1 , d 2 son sus grados de intersección con una fibra de cada proyección a P 1 ) , dado que la clase canónica de P 1 × P 1 tiene bidegree (−2, −2), la fórmula adjunta muestra que la clase canónica de C es el producto de intersección de divisores de bidegrees ( d 1 , d 2 ) y ( d 1 −2, d 2 −2). La forma de intersección en P 1 × P 1 es por definición del bidegree y por bilinealidad, por lo que la aplicación de Riemann-Roch da o
El género de una curva C que es la intersección completa de dos superficies D y E en P 3 también se puede calcular usando la fórmula adjunta. Supongamos que D y E son los grados de D y E , respectivamente. La aplicación de la fórmula de adjunción a D muestra que su divisor canónico es ( d - 4) H | D , que es el producto intersección de ( d - 4) H y D . Haciendo esto nuevamente con E , que es posible porque C es una intersección completa, muestra que el divisor canónico C es el producto ( d + e - 4) H · dH · eH , es decir, tiene grado de ( d + e - 4) . Según el teorema de Riemann-Roch, esto implica que el género de C es
De manera más general, si C es la intersección completa de n - 1 hipersuperficies D 1 , ..., D n - 1 de grados d 1 , ..., d n - 1 en P n , entonces un cálculo inductivo muestra que el canónico clase de C es. El teorema de Riemann-Roch implica que el género de esta curva es
Ver también
Referencias
- ^ Zhang, Ziyu. "10. Superficies algebraicas" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 2020-02-11.
- ^ Hartshorne, capítulo V, ejemplo 1.5.1
- ^ Hartshorne, capítulo V, ejemplo 1.5.2
- Teoría de la intersección 2a edición, William Fulton, Springer, ISBN 0-387-98549-2 , ejemplo 3.2.12.
- Principios de geometría algebraica , Griffiths y Harris, biblioteca de clásicos de Wiley, ISBN 0-471-05059-8 págs. 146–147.
- Geometría algebraica , Robin Hartshorne , Springer GTM 52, ISBN 0-387-90244-9 , Proposición II.8.20.