Mecánica geométrica

La mecánica geométrica es una rama de las matemáticas que aplica métodos geométricos particulares a muchas áreas de la mecánica , desde la mecánica de partículas y cuerpos rígidos hasta la mecánica de fluidos y la teoría de control .

La mecánica geométrica se aplica principalmente a sistemas para los cuales el espacio de configuración es un grupo de Lie , o un grupo de difeomorfismos , o más generalmente donde algún aspecto del espacio de configuración tiene esta estructura de grupo. Por ejemplo, el espacio de configuración de un cuerpo rígido como un satélite es el grupo de movimientos euclidianos (traslaciones y rotaciones en el espacio), mientras que el espacio de configuración de un cristal líquido es el grupo de difeomorfismos junto con un estado interno (simetría de calibre o parámetro de pedido).

Una de las ideas principales de la mecánica geométrica es la reducción , que se remonta a la eliminación del nodo de Jacobi en el problema de los 3 cuerpos, pero en su forma moderna se debe a K. Meyer (1973) e independientemente a JE Marsden y A. Weinstein ( 1974), ambos inspirados en la obra de Smale (1970). La simetría de un sistema hamiltoniano o lagrangiano da lugar a cantidades conservadas, por el teorema de Noether , y estas cantidades conservadas son los componentes del mapa de cantidad de movimiento J. Si P es el espacio de fase y G el grupo de simetría, el mapa de cantidad de movimiento es un mapa y los espacios reducidos son cocientes de los conjuntos de nivel de J $\mathbf {J} :P\to {\mathfrak {g}}^{*}$ por el subgrupo de G conservando el conjunto de niveles en cuestión: pues se define , y este espacio reducido es una variedad simpléctica si es un valor regular de J . $\mu \in {\mathfrak {g}}^{*}$ $P_{\mu }=\mathbf {J} ^{-1}(\mu )/G_{\mu }$ $\mu$

Uno de los desarrollos importantes que surgen del enfoque geométrico de la mecánica es la incorporación de la geometría a los métodos numéricos. En particular, los integradores simplécticos y variacionales están demostrando ser particularmente precisos para la integración a largo plazo de sistemas hamiltonianos y lagrangianos.