En matemáticas , un espacio de configuración es una construcción estrechamente relacionada con los espacios de estados o espacios de fase en física. En física, se utilizan para describir el estado de un sistema completo como un solo punto en un espacio de alta dimensión. En matemáticas, se utilizan para describir asignaciones de una colección de puntos a posiciones en un espacio topológico . Más específicamente, los espacios de configuración en matemáticas son ejemplos particulares de espacios de configuración en física en el caso particular de varias partículas que no chocan.
Definición
Para un espacio topológico , el n- ésimo espacio de configuración (ordenado) de X es el conjunto de n - tuplas de puntos distintos por pares en:
Este espacio generalmente está dotado de la topología subespacial a partir de la inclusión de dentro . También a veces se denota, , o . [2]
Hay una acción natural del grupo simétrico. en los puntos en dada por
Esta acción da lugar al n- ésimo espacio de configuración desordenado de X ,
que es el espacio orbital de esa acción. La intuición es que esta acción "olvida los nombres de los puntos". El espacio de configuración desordenado a veces se denota, [2] , o . La colección de espacios de configuración desordenados sobre todoses el espacio de Ran y viene con una topología natural.
Formulaciones alternativas
Para un espacio topológico y un conjunto finito , el espacio de configuración de X con partículas etiquetadas por S es
Para , definir . Entonces el n- ésimo espacio de configuración de X es, y se denota simplemente . [3]
Ejemplos de
- El espacio de configuración ordenada de dos puntos en es homeomorfo al producto del espacio tridimensional euclidiano con un círculo, es decir. [2]
- De manera más general, el espacio de configuración de dos puntos en es homotopía equivalente a la esfera. [4]
- El espacio de configuración de puntos en es el espacio de clasificación de la th grupo de trenzas (ver más abajo ).
Conexión a grupos de trenzas
El grupo de trenzas de n hebras en un espacio topológico conectado X es
el grupo fundamental de la n º espacio de configuración no ordenada de X . El grupo trenzado puro de n hebras en X es [2]
Los primeros grupos de trenzas estudiados fueron los grupos de trenzas de Artin. . Si bien la definición anterior no es la que dio Emil Artin , Adolf Hurwitz definió implícitamente los grupos de trenzas de Artin como grupos fundamentales de espacios de configuración del plano complejo considerablemente antes de la definición de Artin (en 1891). [5]
Se desprende de esta definición y del hecho de que y son espacios de tipo Eilenberg-MacLane, que el espacio de configuración desordenado del avión es un espacio de clasificación para el grupo de trenzas Artin, yes un espacio clasificador para el grupo trenzado puro de Artin, cuando ambos se consideran grupos discretos . [6]
Espacios de configuración de colectores
Si el espacio original es una variedad , sus espacios de configuracin ordenada son subespacios abiertos de los poderes dey, por tanto, son ellos mismos múltiples. El espacio de configuración de puntos desordenados distintos es también una variedad, mientras que el espacio de configuración de puntos desordenados no necesariamente distintos [ aclaración necesaria ] es en cambio un orbifold .
Un espacio de configuración es un tipo de espacio de clasificación o espacio de módulos (finos) . En particular, hay un paquete universal que es un sub-paquete del paquete trivial , y que tiene la propiedad de que la fibra sobre cada punto es el subconjunto de n elementos declasificado por p .
Invariancia de homotopía
El tipo de homotopía de espacios de configuración no es invariante de homotopía . Por ejemplo, los espacios no son homotopía equivalente para dos valores distintos de : está vacío para , no está conectado para , es un espacio de tipo Eilenberg-MacLane, y está simplemente conectado para.
Solía ser una pregunta abierta si había ejemplos de variedades compactas que eran homotopía equivalente pero tenían espacios de configuración no homotópicos equivalentes: tal ejemplo fue encontrado sólo en 2005 por Riccardo Longoni y Paolo Salvatore. Su ejemplo son dos espacios de lentes tridimensionales y los espacios de configuración de al menos dos puntos en ellos. Los productos Massey detectaron que estos espacios de configuración no son equivalentes de homotopia en sus respectivas cubiertas universales. [7] La invariancia de homotopía para espacios de configuración de colectores cerrados simplemente conectados permanece abierta en general, y se ha demostrado que se mantiene sobre el campo base.. [8] [9] También se demostró la invariancia de homotopía real de variedades compactas simplemente conectadas con un límite simplemente conectado de dimensión al menos 4. [10]
Espacios de configuración de gráficos
Algunos resultados son específicos de los espacios de configuración de gráficos . Este problema puede estar relacionado con la robótica y la planificación del movimiento: uno puede imaginarse colocando varios robots en pistas y tratando de llevarlos a diferentes posiciones sin colisión. Las pistas corresponden a (los bordes de) un gráfico, los robots corresponden a partículas y la navegación exitosa corresponde a una ruta en el espacio de configuración de ese gráfico. [11]
Para cualquier gráfico , es un espacio de tipo Eilenberg-MacLane [11] y una fuerte deformación se retrae a un complejo de dimensión CW, dónde es el número de vértices de grado al menos 3. [11] [12] Además, y la deformación se retrae a complejos cúbicos de dimensión no curvados positivamente como máximo. [13] [14]
Espacios de configuración de enlaces mecánicos
También se define el espacio de configuración de un enlace mecánico con el gráfico. su geometría subyacente. Se asume comúnmente que tal gráfico se construye como una concatenación de varillas rígidas y bisagras. El espacio de configuración de tal enlace se define como la totalidad de todas sus posiciones admisibles en el espacio euclidiano equipado con una métrica adecuada. El espacio de configuración de un enlace genérico es una variedad suave, por ejemplo, para el enlace plano trivial hecho de varillas rígidas conectadas con juntas angulares, el espacio de configuración es el n-toro . [15] [16] El punto de singularidad más simple en tales espacios de configuración es un producto de un cono en una hipersuperficie cuadrática homogénea por un espacio euclidiano. Un punto de singularidad de este tipo emerge para enlaces que pueden dividirse en dos subenlaces de modo que sus respectivos puntos finales trazos-trayectos se cruzan de una manera no transversal, por ejemplo enlaces que pueden alinearse (es decir, plegarse completamente en una línea). [17]
Ver también
- Espacio de configuración (física)
- Espacio de estado (física)
Referencias
- ^ Farber, Michael; Grant, Mark (2009). "Complejidad topológica de los espacios de configuración". Actas de la American Mathematical Society . 137 (5): 1841–1847. arXiv : 0806.4111 . doi : 10.1090 / S0002-9939-08-09808-0 . Señor 2470845 .
- ^ a b c d Ghrist, Robert (1 de diciembre de 2009). "Configuración de espacios, trenzas y robótica". En Berrick, A. Jon; Cohen, Frederick R .; Hanbury, Elizabeth; Wong, Yan-Loi; Wu, Jie (eds.). Trenzas . Serie de notas de conferencias, Instituto de Ciencias Matemáticas, Universidad Nacional de Singapur. Volumen 19. World Scientific. págs. 263-304. doi : 10.1142 / 9789814291415_0004 . ISBN 9789814291408.
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tiene texto extra ( ayuda ) - ^ Chettih, Safia; Lütgehetmann, Daniel (2018). "La homología de espacios de configuración de árboles con bucles". Topología algebraica y geométrica . 18 (4): 2443–2469. arXiv : 1612.08290 . doi : 10.2140 / agt.2018.18.2443 .
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