Los problemas del siguiente tipo y sus técnicas de solución se estudiaron por primera vez en el siglo XVIII y el tema general se conoció como probabilidad geométrica .
- ( Aguja de Buffon ) ¿Cuál es la probabilidad de que una aguja que cae al azar en un piso marcado con líneas paralelas igualmente espaciadas cruce una de las líneas?
- ¿Cuál es la longitud media de una cuerda aleatoria de un círculo unitario? (cf. paradoja de Bertrand ).
- ¿Cuál es la probabilidad de que tres puntos aleatorios en el plano formen un triángulo agudo (en lugar de obtuso)?
- ¿Cuál es el área media de las regiones poligonales que se forman cuando las líneas orientadas al azar se extienden sobre el plano?
Para el desarrollo matemático, consulte la monografía concisa de Solomon. [1]
Desde finales del siglo XX, el tema se ha dividido en dos temas con diferentes énfasis. La geometría integral surgió del principio de que los modelos de probabilidad matemáticamente naturales son aquellos que son invariantes bajo ciertos grupos de transformación. Este tema enfatiza el desarrollo sistemático de fórmulas para calcular los valores esperados asociados con los objetos geométricos derivados de puntos aleatorios y, en parte, puede verse como una rama sofisticada del cálculo multivariante . La geometría estocástica enfatiza los propios objetos geométricos aleatorios. Por ejemplo: diferentes modelos para líneas aleatorias o para teselaciones aleatorias del plano; conjuntos aleatorios formados al hacer que los puntos de un proceso de Poisson espacial sean (digamos) centros de discos.
Ver también
Referencias
- ^ Herbert Solomon (1978). Probabilidad geométrica . Filadelfia, PA: Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas .
- Daniel A. Klain, Gian-Carlo Rota - Introducción a la probabilidad geométrica.
- Maurice G. Kendall, Patrick AP Moran - Probabilidad geométrica.
- Eugene Seneta, Karen Hunger Parshall, François Jongmans - Desarrollos del siglo XIX en probabilidad geométrica: JJ Sylvester, MW Crofton, J.-É. Barbier y J. Bertrand