En matemáticas , el problema de la aguja de Buffon es una pregunta planteada por primera vez en el siglo XVIII por Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon : [1]
- Supongamos que tenemos un piso hecho de tiras de madera paralelas , cada una del mismo ancho, y dejamos caer una aguja en el piso. ¿Cuál es la probabilidad de que la aguja atraviese una línea entre dos tiras?
La aguja de Buffon fue el primer problema de probabilidad geométrica que se resolvió [¿ según quién? ] ; se puede resolver utilizando geometría integral . La solución para la probabilidad p buscada , en el caso de que la longitud de la aguja l no sea mayor que el ancho t de las tiras, es
Esto se puede utilizar para diseñar un método de Monte Carlo para aproximar el número π , aunque esa no fue la motivación original para la pregunta de De Buffon. [2]
Solución
El problema en términos más matemáticos es: dada una aguja de longitud Si se deja caer en un plano regido por líneas paralelas a t unidades de distancia, ¿cuál es la probabilidad de que la aguja cruce una línea al aterrizar?
Sea x la distancia desde el centro de la aguja a la línea paralela más cercana y sea θ el ángulo agudo entre la aguja y una de las líneas paralelas.
La función de densidad de probabilidad uniforme de x entre 0 y t / 2 es
Aquí, x = 0 representa una aguja que está centrada directamente en una línea, y x = t / 2 representa una aguja que está perfectamente centrada entre dos líneas. El PDF uniforme asume que es igualmente probable que la aguja caiga en cualquier lugar de este rango, pero no podría salir de él.
La función de densidad de probabilidad uniforme de θ entre 0 y π / 2 es
Aquí, θ = 0 radianes representa una aguja que es paralela a las líneas marcadas, y θ = π / 2 radianes representa una aguja que es perpendicular a las líneas marcadas. Se asume que cualquier ángulo dentro de este rango es un resultado igualmente probable.
Las dos variables aleatorias , x y θ , son independientes, por lo que la función de densidad de probabilidad conjunta es el producto
La aguja cruza una línea si
Ahora hay dos casos.
Caso 1: aguja corta
La integración de la función de densidad de probabilidad conjunta da la probabilidad de que la aguja cruce una línea:
Caso 2: aguja larga
Suponer . En este caso, integrando la función de densidad de probabilidad conjunta, obtenemos:
dónde es el mínimo entre y .
Por lo tanto, al realizar la integración anterior, vemos que, cuando , la probabilidad de que la aguja cruce una línea es
o
En la segunda expresión, el primer término representa la probabilidad de que el ángulo de la aguja sea tal que siempre cruce al menos una línea. El término correcto representa la probabilidad de que la aguja caiga en un ángulo en el que su posición sea importante y cruce la línea.
Alternativamente, observe que siempre que tiene un valor tal que , es decir, en el rango la probabilidad de cruce es la misma que en el caso de la aguja corta. Sin embargo, si, es decir, la probabilidad es constante y es igual a 1.
Usando cálculo elemental
La siguiente solución para el caso de la "aguja corta", si bien es equivalente a la anterior, tiene un sabor más visual y evita las integrales iteradas.
Podemos calcular la probabilidad como el producto de 2 probabilidades: , dónde es la probabilidad de que el centro de la aguja caiga lo suficientemente cerca de una línea para que la aguja posiblemente la cruce, y es la probabilidad de que la aguja cruce realmente la línea, dado que el centro está al alcance.
Al observar la ilustración de la sección anterior, es evidente que la aguja puede cruzar una línea si el centro de la aguja está dentro unidades de cada lado de la tira. Añadiendo de ambos lados y dividiendo por todo el ancho , obtenemos
Ahora, asumimos que el centro está al alcance del borde de la tira y calculamos . Para simplificar el cálculo, podemos suponer que.
Sean x y θ como en la ilustración de esta sección. Al colocar el centro de una aguja en x , la aguja cruzará el eje vertical si cae dentro de un rango de 2θ radianes, fuera de π radianes de posibles orientaciones. Esto representa el área gris a la izquierda de x en la figura. Para una x fija , podemos expresar θ en función de x :. Ahora podemos dejar que x se mueva de 0 a 1 e integrar:
Multiplicando ambos resultados obtenemos , como anteriormente.
Existe un método aún más elegante y sencillo para calcular la "caja de aguja corta". El extremo de la aguja más alejado de cualquiera de las dos líneas que bordean su región debe estar ubicado dentro de una distancia horizontal (perpendicular a las líneas fronterizas) de (dónde es el ángulo entre la aguja y la horizontal) desde esta línea para que la aguja la cruce. Lo más lejos que este extremo de la aguja puede alejarse de esta línea horizontalmente en su región es. La probabilidad de que el extremo más lejano de la aguja se encuentre a no más de una distancia lejos de la línea (y por lo tanto que la aguja cruza la línea) fuera de la distancia total puede moverse en su región por es dado por
, como anteriormente.
Sin integrales
El problema de la aguja corta también se puede resolver sin ninguna integración, de una manera que explica la fórmula para p a partir del hecho geométrico de que un círculo de diámetro t cruzará la distancia t franjas siempre (es decir, con probabilidad 1) en exactamente dos puntos. Esta solución fue dada por Joseph-Émile Barbier en 1860 [3] y también se conoce como " fideos de Buffon ".
Estimando π
En el primer caso anterior, más simple, la fórmula obtenida para la probabilidad se puede reorganizar para:
Suponga que dejamos caer n agujas y encontramos que h de esas agujas están cruzando líneas, entonces es aproximado por la fracción . Esto conduce a la fórmula:
En 1901, el matemático italiano Mario Lazzarini realizó el experimento de la aguja de Buffon. Lanzando una aguja 3408 veces, obtuvo la conocida aproximación 355/113 para π, con una precisión de seis dígitos significativos. [4] El "experimento" de Lazzarini es un ejemplo de sesgo de confirmación , ya que fue creado para replicar la ya conocida aproximación de 355/113 (de hecho, no hay mejor aproximación racional con menos de cinco dígitos en el numerador y denominador), lo que arroja una "predicción" de π más precisa de lo que cabría esperar a partir del número de ensayos, como sigue: [5]
Lazzarini eligió agujas cuya longitud era 5/6 del ancho de las tiras de madera. En este caso, la probabilidad de que las agujas crucen las líneas es. Por lo tanto, si se dejaran caer n agujas y se obtuvieran x cruces, se estimaría π como:
La descripción anterior de la estrategia podría incluso considerarse caritativa para Lazzarini. Un análisis estadístico de los resultados intermedios que informó para menos lanzamientos conduce a una probabilidad muy baja de lograr un acuerdo tan cercano con el valor esperado durante todo el experimento. Esto hace que sea muy posible que el "experimento" en sí nunca se haya realizado físicamente, sino que se basó en números elaborados con la imaginación para coincidir con las expectativas estadísticas, pero resulta que demasiado bien. [5]
El periodista científico holandés Hans van Maanen sostiene, sin embargo, que el artículo de Lazzarini nunca tuvo la intención de ser tomado demasiado en serio, ya que habría sido bastante obvio para los lectores de la revista (dirigida a los maestros de escuela) que el aparato que Lazzarini dijo haber construido no puede posiblemente funcione como se describe. [6]
Ver también
Referencias
- ^ de l'Acad. Roy. des. Sciences (1733), 43–45 ; naturelle, générale et particulière Supplément 4 (1777), pág. 46 .
- ^ Behrends, Ehrhard. "Buffon: ¿Hat er Stöckchen geworfen oder hat er nicht?" (PDF) . Consultado el 14 de marzo de 2015 .
- ^ Aigner, Martin; Ziegler, Günter M. (2013). Pruebas de EL LIBRO (2ª ed.). Springer Science & Business Media. págs. 189-192.
- ^ Lazzarini, M. (1901). "Un'applicazione del calcolo della probabilità alla ricerca sperimentale di un valore approssimato di π" [Una aplicación de la teoría de la probabilidad a la investigación experimental de una aproximación de π]. Periodico di Matematica per l'Insegnamento Secondario (en italiano). 4 : 140-143.
- ^ a b Lee Badger, 'Aproximación afortunada de π de Lazzarini' , Revista de matemáticas 67, 1994, 83–91.
- ^ Hans van Maanen, 'Het stokje van Lazzarini' (El bastón de Lazzarini) , "Skepter" 31.3, 2018.
Bibliografía
- Badger, Lee (abril de 1994). "Aproximación afortunada de Lazzarini de π". Revista de Matemáticas . Asociación Matemática de América. 67 (2): 83–91. doi : 10.2307 / 2690682 . JSTOR 2690682 .
- Ramaley, JF (octubre de 1969). "Problema de los fideos de Buffon". The American Mathematical Monthly . Asociación Matemática de América. 76 (8): 916–918. doi : 10.2307 / 2317945 . JSTOR 2317945 .
- Mathai, AM (1999). Introducción a la probabilidad geométrica . Newark: Gordon y Breach. pag. 5. ISBN 978-90-5699-681-9.
- Dell, Zachary; Franklin, Scott V. (septiembre de 2009). "El problema de la aguja de Buffon-Laplace en tres dimensiones". Revista de Mecánica Estadística: Teoría y Experimento . 2009 (9): 010. Código Bibliográfico : 2009JSMTE..09..010D . doi : 10.1088 / 1742-5468 / 2009/09 / P09010 .
- Schroeder, L. (1974). "Problema de la aguja de Buffon: una aplicación interesante de muchos conceptos matemáticos". Profesor de matemáticas , 67 (2), 183–6.
enlaces externos
- Problema de la aguja de Buffon al cortar el nudo
- Sorpresas matemáticas: Buffon's Noodle al cortar el nudo
- MSTE: Aguja de Buffon
- Applet de Java Needle de Buffon
- Estimación de visualización de PI (Flash)
- La aguja de Buffon: diversión y fundamentos (presentación) en slideshare
- Animaciones para la simulación de la aguja de Buffon por Yihui Xie usando la animación del paquete R
- Animación física en 3D por Jeffrey Ventrella
- Padilla, Tony. "∏ Pi y la aguja de Buffon" . Numberphile . Brady Haran . Archivado desde el original el 17 de mayo de 2013 . Consultado el 9 de abril de 2013 .