En matemáticas, la geometría estocástica es el estudio de patrones espaciales aleatorios. En el corazón del tema se encuentra el estudio de patrones de puntos aleatorios. Esto conduce a la teoría de los procesos de puntos espaciales , de ahí las nociones de condicionamiento de Palm, que se extienden al escenario más abstracto de medidas aleatorias .
Modelos
Existen varios modelos para procesos puntuales, típicamente basados, pero que van más allá del clásico proceso homogéneo de puntos de Poisson (el modelo básico para la aleatoriedad espacial completa ) para encontrar modelos expresivos que permitan métodos estadísticos efectivos.
La teoría del patrón de puntos proporciona un bloque de construcción importante para la generación de procesos de objetos aleatorios, lo que permite la construcción de patrones espaciales aleatorios elaborados. La versión más simple, el modelo booleano , coloca un objeto compacto aleatorio en cada punto de un proceso de puntos de Poisson. Las versiones más complejas permiten interacciones basadas de diversas formas en la geometría de los objetos. Las diferentes direcciones de aplicación incluyen: la producción de modelos para imágenes aleatorias, ya sea como uniones de objetos o como patrones de objetos superpuestos; también la generación de modelos inspirados geométricamente para el proceso de puntos subyacente (por ejemplo, la distribución del patrón de puntos puede estar sesgada por un factor exponencial que involucra el área de la unión de los objetos; esto está relacionado con el modelo de Widom-Rowlinson [1] de mecánica estadística).
Objeto aleatorio
¿Qué se entiende por objeto aleatorio? Una respuesta completa a esta pregunta requiere la teoría de conjuntos cerrados aleatorios , que entra en contacto con conceptos avanzados de la teoría de la medida. La idea clave es centrarse en las probabilidades de que el conjunto cerrado aleatorio dado alcance conjuntos de prueba específicos. Surgen cuestiones de inferencia (por ejemplo, estimar el conjunto que encierra un patrón de puntos dado) y teorías de generalizaciones de medios, etc. para aplicar a conjuntos aleatorios. Ahora se están haciendo conexiones entre este último trabajo y los desarrollos recientes en el análisis matemático geométrico con respecto a los espacios métricos generales y su geometría. Las buenas parametrizaciones de conjuntos aleatorios específicos pueden permitirnos referir procesos de objetos aleatorios a la teoría de procesos de puntos marcados; Los pares objeto-punto se ven como puntos en un espacio de producto más grande formado como el producto del espacio original y el espacio de parametrización.
Procesos de línea e hiperplanos
Supongamos que ya no nos interesan los objetos compactos, sino los objetos que se extienden espacialmente: líneas en el plano o planos en el espacio tridimensional. Esto lleva a considerar los procesos de línea y los procesos de planos o hiperplanos. Ya no puede haber una ubicación espacial preferida para cada objeto; sin embargo, la teoría puede volver a mapearse en la teoría del proceso puntual representando cada objeto por un punto en un espacio de representación adecuado. Por ejemplo, en el caso de líneas dirigidas en el plano, se puede considerar que el espacio de representación es un cilindro. Una complicación es que las simetrías de movimiento euclidianas se expresarán en el espacio de representación de una manera algo inusual. Además, los cálculos deben tener en cuenta sesgos espaciales interesantes (por ejemplo, es menos probable que los segmentos de línea se vean afectados por líneas aleatorias a las que son casi paralelas) y esto proporciona una conexión interesante y significativa con el área enormemente significativa de la estereología , que en algunos aspectos puede verse como otro tema más de la geometría estocástica. A menudo ocurre que los cálculos se realizan mejor en términos de paquetes de líneas que golpean varios conjuntos de prueba, en lugar de trabajar en el espacio de representación.
Los procesos de línea e hiperplanos tienen sus propias aplicaciones directas, pero también encuentran aplicación como una forma de crear teselados que dividen el espacio; de ahí que, por ejemplo, se pueda hablar de teselados de líneas de Poisson. Un resultado reciente notable [2] demuestra que la celda en el origen de la teselación de la línea de Poisson es aproximadamente circular cuando está condicionada para ser grande. Por supuesto, las teselaciones en geometría estocástica pueden producirse por otros medios, por ejemplo, utilizando Voronoi y construcciones variantes, y también iterando varios medios de construcción.
Origen del nombre
El nombre parece haber sido acuñado por David Kendall y Klaus Krickeberg [3] mientras se preparaban para un taller de Oberwolfach en junio de 1969 , aunque los antecedentes de la teoría se remontan mucho más atrás bajo el nombre de probabilidad geométrica . El término "geometría estocástica" también fue utilizado por Frisch y Hammersley en 1963 [4] como una de las dos sugerencias para los nombres de una teoría de "estructuras irregulares aleatorias" inspirada en la teoría de la percolación .
Aplicaciones
Esta breve descripción se ha centrado en la teoría [3] [5] de la geometría estocástica, que permite una visión de la estructura del sujeto. Sin embargo, gran parte de la vida y el interés del tema, y de hecho muchas de sus ideas originales, surgen de una amplia gama de aplicaciones, por ejemplo: astronomía, [6] telecomunicaciones distribuidas espacialmente , [7] modelado y análisis de redes inalámbricas, [8] modelado del desvanecimiento del canal , [9] [10] silvicultura, [11] la teoría estadística de la forma, [12] ciencia de los materiales, [13] análisis multivariante , problemas en el análisis de imágenes [14] y estereología . Hay enlaces a la mecánica estadística, [15] la cadena de Markov Monte Carlo e implementaciones de la teoría en la computación estadística (por ejemplo, Spatstat [16] en R ). Más recientemente, los procesos puntuales determinantes y permanentes (conectados a la teoría de matrices aleatorias) están comenzando a desempeñar un papel. [17]
Ver también
- Función de vecino más cercano
- Función de distribución de contacto esférico
- Medida de momento factorial
- Medida del momento
- Teoría de la percolación continua
- Gráficos aleatorios
- Estadísticas espaciales
- Modelos de geometría estocástica de redes inalámbricas
- Morfología matemática
Referencias
- ^ Chayes, JT ; Chayes, L .; Kotecký, R. (1995). "El análisis del modelo de Widom-Rowlinson por métodos geométricos estocásticos" . Comunicaciones en Física Matemática . 172 (3): 551–569. Código Bibliográfico : 1995CMaPh.172..551C . doi : 10.1007 / BF02101808 .
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- ^ a b Véase el prólogo en Stoyan, D .; Kendall, WS; Mecke, J. (1987). Geometría estocástica y sus aplicaciones . Wiley . ISBN 0-471-90519-4.
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