En matemáticas , un conjunto simplicial es un objeto compuesto de simples de una manera específica. Los conjuntos simpliciales son generalizaciones de dimensiones superiores de grafos dirigidos , conjuntos parcialmente ordenados y categorías . Formalmente, un conjunto simplicial puede definirse como un funtor contravariante de la categoría simplex a la categoría de conjuntos . Los conjuntos simples fueron introducidos en 1950 por Samuel Eilenberg y Joseph A. Zilber. [1]
Todo conjunto simplicial da lugar a un espacio topológico "bonito" , conocido como su realización geométrica. Esta realización consiste en simples geométricos , pegados entre sí según las reglas del conjunto simplicial. De hecho, uno puede ver un conjunto simplicial como una construcción puramente combinatoria diseñada para capturar la noción de un espacio topológico de " buen comportamiento " para los propósitos de la teoría de la homotopía . Específicamente, la categoría de conjuntos simpliciales lleva una estructura de modelo natural , y la correspondiente categoría de homotopía es equivalente a la familiar categoría de homotopía de espacios topológicos.
Los conjuntos simples se utilizan para definir cuasicategorías , una noción básica de la teoría de categorías superiores . Una construcción análoga a la de los conjuntos simpliciales se puede realizar en cualquier categoría, no solo en la categoría de conjuntos, dando la noción de objetos simpliciales .
Un conjunto simplicial es un modelo categórico (es decir, puramente algebraico) que captura aquellos espacios topológicos que se pueden construir (o representar fielmente hasta la homotopía) a partir de simples y sus relaciones de incidencia. Esto es similar al enfoque de los complejos CW para modelar espacios topológicos, con la diferencia crucial de que los conjuntos simpliciales son puramente algebraicos y no tienen ninguna topología real.
Para volver a los espacios topológicos reales, existe un funtor de realización geométrica que convierte conjuntos simples en espacios de Hausdorff generados de forma compacta . La mayoría de los resultados clásicos sobre complejos CW en la teoría de la homotopía se generalizan mediante resultados análogos para conjuntos simpliciales. Si bien los topólogos algebraicos siguen prefiriendo en gran medida los complejos CW, existe un contingente creciente de investigadores interesados en utilizar conjuntos simpliciales para aplicaciones en geometría algebraica donde los complejos CW no existen de forma natural.
Los conjuntos simples se pueden ver como una generalización de dimensiones superiores de multigrafos dirigidos . Un conjunto simplicial contiene vértices (conocidos como "0-simples" en este contexto) y flechas ("1-simples") entre algunos de estos vértices. Dos vértices pueden estar conectados por varias flechas, y también se permiten bucles dirigidos que conectan un vértice consigo mismo. A diferencia de los multigrafos dirigidos, los conjuntos simpliciales también pueden contener simples superiores. Un 2-simplex, por ejemplo, se puede considerar como una forma "triangular" bidimensional limitada por una lista de tres vértices A , B , C y tres flechas B → C , A → C y A → B. En general, un n -simplex es un objeto formado por una lista de n + 1 vértices (que son 0-simples) y n + 1 caras (que son ( n − 1)-simples). Los vértices de la i -ésima cara son los vértices del n -simple menos el i -ésimo vértice. Los vértices de un simplex no necesitan ser distintos y un simplex no está determinado por sus vértices y caras: dos simples diferentes pueden compartir la misma lista de caras (y por lo tanto la misma lista de vértices), al igual que dos flechas diferentes en un multigrafo. conecta los mismos dos vértices.