La conjetura de Gilbreath es una conjetura en teoría de números con respecto a las secuencias generadas al aplicar el operador de diferencia directa a números primos consecutivos y dejar los resultados sin firmar, y luego repetir este proceso en términos consecutivos en la secuencia resultante, y así sucesivamente. La declaración lleva el nombre de Norman L. Gilbreath quien, en 1958, la presentó a la comunidad matemática después de observar el patrón por casualidad mientras hacía aritmética en una servilleta. [1] Sin embargo, en 1878, ochenta años antes del descubrimiento de Gilbreath, François Proth había publicado las mismas observaciones junto con un intentoprueba , que luego se demostró que era falsa. [1]
Aritmética motivadora
Gilbreath observó un patrón mientras jugaba con la secuencia ordenada de números primos.
- 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...
Al calcular el valor absoluto de la diferencia entre el término n + 1 y el término n en esta secuencia se obtiene la secuencia
- 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, ...
Si se realiza el mismo cálculo para los términos de esta nueva secuencia, y la secuencia que es el resultado de este proceso, y nuevamente ad infinitum para cada secuencia que es el resultado de dicho cálculo, las siguientes cinco secuencias en esta lista son
- 1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, ...
- 1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, ...
- 1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, ...
- 1, 2, 0, 0, 0, 2, ...
- 1, 2, 0, 0, 2, ...
Lo que Gilbreath, y François Proth antes que él, notaron es que el primer término de cada serie de diferencias parece ser 1.
La conjetura
Declarar formalmente la observación de Gilbreath es significativamente más fácil de hacer después de diseñar una notación para las secuencias en la sección anterior. Con este fin, dejemos denotar la secuencia ordenada de números primos y definir cada término en la secuencia por
dónde es positivo. Además, para cada entero mayor que 1, deje los términos en ser dado por
- .
La conjetura de Gilbreath establece que cada término de la secuencia por positivo es igual a 1.
Verificación e intentos de pruebas
Como de 2013[actualizar], no se ha publicado ninguna prueba válida de la conjetura. Como se menciona en la introducción, François Proth dio a conocer lo que él creía que era una prueba de la declaración que luego se demostró que era defectuosa. Andrew Odlyzko verificó que es igual a 1 para en 1993, [2] pero la conjetura sigue siendo un problema abierto. En lugar de evaluar n filas, Odlyzko evaluó 635 filas y estableció que la fila 635 comenzaba con un 1 y continuaba con solo 0 y 2 para los siguientes n números. Esto implica que las siguientes n filas comienzan con un 1.
Generalizaciones
En 1980, Martin Gardner publicó una conjetura de Hallard Croft que afirmaba que la propiedad de la conjetura de Gilbreath (tener un 1 en el primer término de cada secuencia de diferencias) debería ser más general para cada secuencia que comienza con 2, posteriormente contiene solo números impares , y tiene un límite suficientemente bajo en los espacios entre elementos consecutivos en la secuencia. [3] Esta conjetura también ha sido repetida por autores posteriores. [4] [5] Sin embargo, es falso: para cada subsecuencia inicial de 2 y números impares, y cada tasa de crecimiento no constante, hay una continuación de la subsecuencia por números impares cuyos huecos obedecen a la tasa de crecimiento pero cuyas secuencias de diferencia fallar al comenzar con 1 infinitamente a menudo. [6] Odlyzko (1993) es más cuidadoso, escribiendo sobre ciertas razones heurísticas para creer en la conjetura de Gilbreath de que "los argumentos anteriores se aplican a muchas otras secuencias en las que el primer elemento es un 1, los otros incluso , y donde los espacios entre elementos consecutivos no son demasiado grandes y son suficientemente aleatorias ". [2] Sin embargo, no da una definición formal de lo que significa "suficientemente aleatorio".
Ver también
- Operador de diferencia
- Prime gap
- Regla 90 , un autómata celular que controla el comportamiento de las partes de las filas que contienen solo los valores 0 y 2
Referencias
- ^ a b Caldwell, Chris. "El primer glosario: conjetura de Gilbreath" . Las Prime Pages ..
- ^ a b Odlyzko, AM (1993). "Valores absolutos iterados de diferencias de primos consecutivos" . Matemáticas de la Computación . 61 : 373–380. doi : 10.2307 / 2152962 . Zbl 0781.11037 ..
- ^ Gardner, Martin (diciembre de 1980). "Los patrones en números primos son una pista de la fuerte ley de los números pequeños". Juegos matemáticos. Scientific American . Vol. 243 no. 6. págs. 18-28.
- ^ Guy, Richard K. (2004). Problemas no resueltos en teoría de números . Libros de problemas de matemáticas (3ª ed.). Springer-Verlag . pag. 42. ISBN 0-387-20860-7. Zbl 1058.11001 .
- ^ Querido, David (2004). "Conjetura de Gilbreath". El libro universal de matemáticas: de Abracadabra a las paradojas de Zenón . John Wiley e hijos. págs. 133-134. ISBN 9780471667001.
- ^ Eppstein, David (20 de febrero de 2011). "Secuencias anti-Gilbreath" . 11011110 .