Glosario de geometría aritmética y diofántica

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Este es un glosario de geometría aritmética y diofántica en matemáticas , áreas que surgen del estudio tradicional de las ecuaciones diofánticas para abarcar grandes partes de la teoría de números y la geometría algebraica . Gran parte de la teoría adopta la forma de conjeturas propuestas , que pueden relacionarse en varios niveles de generalidad.

La geometría diofántica en general es el estudio de variedades algebraicas V sobre campos K que se generan finitamente sobre sus campos primos —incluidos los campos numéricos de interés especial y campos finitos— y sobre campos locales . De ellos, solo los números complejos están algebraicamente cerrados ; por encima de cualquier otra K la existencia de puntos de V con coordenadas en K es algo que debe ser probado y estudiado como un tema adicional, aun conociendo la geometría de V .

La geometría aritmética se puede definir más generalmente como el estudio de esquemas de tipo finito sobre el espectro del anillo de números enteros . ^[1] La geometría aritmética también se ha definido como la aplicación de las técnicas de geometría algebraica a problemas de teoría de números . ^[2]

A

conjetura abc

La conjetura abc de Masser y Oesterlé intenta establecer tanto como sea posible acerca de los factores primos repetidos en una ecuación a + b = c . Por ejemplo, 3 + 125 = 128 pero los poderes primos aquí son excepcionales.

Grupo de clase Arakelov

El grupo de clase Arakelov es el análogo del grupo de clase ideal o grupo de clase divisor para los divisores de Arakelov . ^[3]

Divisor de Arakelov

Un divisor de Arakelov (o divisor repleto ^[4] ) en un campo global es una extensión del concepto de divisor o ideal fraccionario . Es una combinación lineal formal de lugares del campo con lugares finitos que tienen coeficientes enteros y los lugares infinitos tienen coeficientes reales. ^{[3] [5] [6]}

Altura de Arakelov

La altura de Arakelov en un espacio proyectivo sobre el campo de números algebraicos es una función de altura global con contribuciones locales provenientes de las métricas de Fubini-Study en los campos de Arquímedes y la métrica habitual en los campos de no Arquímedes . ^{[7] [8]}

Teoría de Arakelov

La teoría de Arakelov es un enfoque de la geometría aritmética que incluye explícitamente los 'números primos infinitos'.

Aritmética de variedades abelianas

Ver artículo principal aritmética de variedades abelianas.

Funciones L de Artin

Las funciones L de Artin se definen para representaciones de Galois bastante generales . La introducción de la cohomología étale en la década de 1960 significó que las funciones L de Hasse-Weil podrían considerarse como funciones L de Artin para las representaciones de Galois en grupos de cohomología l-ádica .

B

Mala reducción

Ver buena reducción .

Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer

La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer sobre curvas elípticas postula una conexión entre el rango de una curva elíptica y el orden de los polos de su función L de Hasse-Weil. Ha sido un hito importante en la geometría diofántica desde mediados de la década de 1960, con resultados como el teorema de Coates-Wiles , el teorema de Gross-Zagier y el teorema de Kolyvagin . ^[9]

C

Altura canónica

La altura canónica en una variedad abeliana es una función de altura que es una forma cuadrática distinguida . Consulte la altura de Néron-Tate .

El método de Chabauty

El método de Chabauty , basado en funciones analíticas p -ádicas, es una aplicación especial pero capaz de probar casos de la conjetura de Mordell para curvas cuyo rango jacobiano es menor que su dimensión. Desarrolló ideas a partir del método de Thoralf Skolem para un toro algebraico . (Otros métodos más antiguos para problemas diofánticos incluyen el método de Runge ).

Teorema de Coates-Wiles

El teorema de Coates-Wiles establece que una curva elíptica con multiplicación compleja por un campo cuadrático imaginario de clase número 1 y rango positivo tiene una función L con un cero en s = 1. Este es un caso especial de la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer . ^[10]

Cohomología cristalina

La cohomología cristalina es una teoría de cohomología p-ádica en la característica p , introducida por Alexander Grothendieck para llenar el vacío dejado por la cohomología étale que es deficiente en el uso de coeficientes mod p en este caso. Es una de varias teorías que se derivan de alguna manera del método de Dwork y tiene aplicaciones fuera de las cuestiones puramente aritméticas.

D

Formas diagonales

Las formas diagonales son algunas de las variedades proyectivas más simples de estudiar desde un punto de vista aritmético (incluidas las variedades de Fermat ). Sus funciones zeta locales se calculan en términos de sumas de Jacobi . El problema de Waring es el caso más clásico.

Dimensión diofántica

La dimensión diofántica de un campo es el menor número natural k , si existe, tal que el campo de es clase C _k : es decir, tal que cualquier polinomio homogéneo de grado d en N variables tiene un cero no trivial siempre que N > d ^k . Los campos algebraicamente cerrados son de dimensión diofántica 0; campos casi algebraicamente cerrados de dimensión 1. ^[11]

Discriminante de un punto

El discriminante de un punto se refiere a dos conceptos relacionados con respecto a un punto P en una variedad algebraica V definida sobre un campo numérico K : el discriminante geométrico (logarítmico) ^[12] d ( P ) y el discriminante aritmético , definido por Vojta. ^[13] La diferencia entre los dos puede compararse con la diferencia entre el género aritmético de una curva singular y el género geométrico de la desingularización . ^[13]El género aritmético es más grande que el género geométrico, y la altura de un punto puede estar acotada en términos del género aritmético. La obtención de límites similares que involucren el género geométrico tendría consecuencias significativas. ^[13]

El método de Dwork

Bernard Dwork utilizó métodos distintivos de análisis p-ádico , ecuaciones diferenciales algebraicas p-ádicas , complejos de Koszul y otras técnicas que no todas han sido absorbidas por teorías generales como la cohomología cristalina . Primero demostró la racionalidad de las funciones zeta locales, el avance inicial en la dirección de las conjeturas de Weil .

mi

Étale cohomology

La búsqueda de una cohomología de Weil (qv) se cumplió al menos parcialmente en la teoría de la cohomología étale de Alexander Grothendieck y Michael Artin . Proporcionó una prueba de la ecuación funcional para las funciones zeta locales , y fue básico en la formulación de la conjetura de Tate (qv) y muchas otras teorías.

F

Altura de los faltings

La altura de Faltings de una curva elíptica o variedad abeliana definida sobre un campo numérico es una medida de su complejidad introducida por Faltings en su demostración de la conjetura de Mordell . ^{[14] [15]}

El último teorema de Fermat

Andrew Wiles y Richard Taylor demostraron el último teorema de Fermat , la conjetura más célebre de la geometría diofántica .

Cohomología plana

La cohomología plana es, para la escuela de Grothendieck, un punto terminal de desarrollo. Tiene la desventaja de ser bastante difícil de calcular. La razón por la que la topología plana se ha considerado el topos fundamental 'correcto' para la teoría de esquemas se remonta al hecho de la descendencia fielmente plana , el descubrimiento de Grothendieck de que los functores representables son gavillas para ella (es decir, se cumple un axioma de encolado muy general ) .

Analogía del campo de función

Se descubrió en el siglo XIX que el anillo de números enteros de un campo numérico tiene analogías con el anillo de coordenadas afines de una curva algebraica o superficie compacta de Riemann, con un punto o más eliminado correspondiente a los 'lugares infinitos' de un campo numérico. Esta idea está codificada con más precisión en la teoría de que los campos globales deben tratarse todos sobre la misma base. La idea va más allá. Así, las superficies elípticas sobre los números complejos también tienen algunas analogías bastante estrictas con las curvas elípticas sobre los campos numéricos.

GRAMO

Teoría de campos de clases geométricas

La extensión de los resultados al estilo de la teoría de campos de clases sobre revestimientos abelianos a variedades de dimensión al menos dos se denomina a menudo teoría de campos de clases geométrica .

Buena reducción

Fundamental para el análisis local en problemas aritméticos es reducir módulo todos los números primos po , más generalmente, los ideales primos . En la situación típica, esto presenta poca dificultad para casi todos los p ; por ejemplo, los denominadores de fracciones son complicados, ya que la reducción módulo un primo en el denominador parece una división por cero , pero eso descarta sólo un número finito de p por fracción. Con un poco de sofisticación adicional, las coordenadas homogéneas permiten borrar denominadores multiplicando por un escalar común. Para un solo punto dado, uno puede hacer esto y no dejar un factor comúnp . Sin embargo, la teoría de la singularidad entra: un punto no singular puede convertirse en un punto singular en el módulo de reducción p , porque el espacio tangente de Zariski puede volverse más grande cuando los términos lineales se reducen a 0 (la formulación geométrica muestra que no es culpa de un solo conjunto de coordenadas ). Una buena reducción se refiere a la variedad reducida que tiene las mismas propiedades que el original, por ejemplo, una curva algebraica que tiene el mismo género , o una variedad suave que permanece suave. En general, habrá un conjunto finito S de primos para una variedad dada V, Asumió liso, de tal manera que hay por lo demás un suavizar reducida V _p sobre Z / p Z . Para las variedades abelianas , una buena reducción está relacionada con la ramificación en el campo de los puntos de división según el criterio de Néron-Ogg-Shafarevich . La teoría es sutil, en el sentido de que la libertad de las variables del cambio para tratar de mejorar la situación es más bien no obvia: véase el modelo de Nerón , potencial de reducción buena , curva de Tate , variedad abeliana semiestable , curva elíptica semiestable , Serre-Tate teorema .^[dieciséis]

Conjetura de Grothendieck-Katz

La conjetura de la curvatura p de Grothendieck – Katz aplica números primos de módulo de reducción a ecuaciones diferenciales algebraicas , para derivar información sobre soluciones de funciones algebraicas . Es un problema abierto a partir de 2016 ^[actualizar]. El resultado inicial de este tipo fue el teorema de Eisenstein .

H

Principio de Hasse

El principio de Hasse establece que la solubilidad para un campo global es lo mismo que la solubilidad en todos los campos locales relevantes . Uno de los principales objetivos de la geometría diofántica es clasificar los casos en los que se cumple el principio de Hasse. Generalmente eso es para una gran cantidad de variables, cuando el grado de una ecuación se mantiene fijo. El principio de Hasse se asocia a menudo con el éxito del método del círculo de Hardy-Littlewood . Cuando el método circular funciona, puede proporcionar información cuantitativa adicional, como un número asintótico de soluciones. Reducir el número de variables dificulta el método del círculo; por lo tanto, fallas del principio de Hasse, por ejemplo para formas cúbicasen un pequeño número de variables (y en particular para las curvas elípticas como curvas cúbicas ) están en un nivel general conectados con las limitaciones del enfoque analítico.

Función L de Hasse-Weil

Una función L de Hasse-Weil , a veces llamada función L global , es un producto de Euler formado a partir de funciones zeta locales. Las propiedades de tales funciones L permanecen en gran parte en el ámbito de la conjetura, siendo la prueba de la conjetura de Taniyama-Shimura un gran avance. La filosofía de Langlands es en gran medida complementaria a la teoría de las funciones L globales.

Función de altura

Una función de altura en geometría diofántica cuantifica el tamaño de las soluciones de las ecuaciones diofánticas. ^[17]

Campos Hilbertianos

Un campo Hilbertiano K es aquel para el que los espacios proyectivos sobre K no son conjuntos delgados en el sentido de Jean-Pierre Serre . Esta es una versión geométrica del teorema de irreductibilidad de Hilbert que muestra que los números racionales son de Hilbert. Los resultados se aplican al problema inverso de Galois . Los conjuntos finos (la palabra francesa es picadillo ) son en cierto sentido análogos a los conjuntos magros (francés maigre ) del teorema de la categoría de Baire .

I

Función zeta de Igusa

Una función zeta de Igusa , llamada así por Jun-ichi Igusa , es una función generadora que cuenta números de puntos en una variedad algebraica de módulo de altas potencias p ⁿ de un número primo fijo p . Ahora se conocen teoremas generales de racionalidad , basados ​​en métodos de lógica matemática . ^[18]

Descenso infinito

El descenso infinito fue el método clásico de Pierre de Fermat para las ecuaciones diofánticas. Se convirtió en la mitad de la demostración estándar del teorema de Mordell-Weil, siendo la otra un argumento con funciones de altura (qv). El descenso es algo así como la división por dos en un grupo de espacios homogéneos principales (a menudo llamados "descensos", cuando se escriben mediante ecuaciones); en términos más modernos en un grupo de cohomología de Galois que debe demostrarse que es finito. Ver grupo Selmer .

Teoría de Iwasawa

La teoría de Iwasawa se basa en la teoría analítica de números y el teorema de Stickelberger como una teoría de grupos de clases ideales como módulos de Galois y funciones L p-ádicas (con raíces en la congruencia de Kummer en números de Bernoulli ). En sus primeros días, a finales de la década de 1960, se le llamó el análogo de Iwasawa del jacobiano . La analogía fue con la variedad jacobiana J de una curva C sobre un campo finito F ( qua variedad Picard), donde el campo finito tiene raíces de unidadañadido para hacer extensiones de campo finito F ′ La función zeta local (qv) de C se puede recuperar de los puntos J ( F ′) como módulo de Galois. De la misma manera, Iwasawa agregó p ^n- raíces de potencia de la unidad para p fijo y con n → ∞, para su análogo, a un campo numérico K , y consideró el límite inverso de los grupos de clases, encontrando una función L p -ádica introducido anteriormente por Kubota y Leopoldt.

K

K-teoría

La teoría K algebraica es, por un lado, una teoría bastante general con un sabor de álgebra abstracta y, por otro lado, implicada en algunas formulaciones de conjeturas aritméticas. Véase, por ejemplo, la conjetura de Birch-Tate , la conjetura de Lichtenbaum .

L

Conjetura de Lang

Enrico Bombieri (dimensión 2), Serge Lang y Paul Vojta (caso de puntos integrales) y Piotr Blass han conjeturado que las variedades algebraicas de tipo general no tienen subconjuntos densos de Zariski de K puntos racionales, para K un campo finitamente generado. Este círculo de ideas incluye la comprensión de la hiperbolicidad analítica y las conjeturas de Lang sobre eso, y las conjeturas de Vojta. Una variedad algebraica analíticamente hiperbólica V sobre los números complejos es una tal que no hay mapeo holomórfico de todo el plano complejoexiste, eso no es constante. Los ejemplos incluyen superficies de Riemann compactas del género g > 1. Lang conjetura que V es analíticamente hiperbólico si y sólo si todas las subvariedades son de tipo general. ^[19]

Toro lineal

Un toro lineal es un subgrupo cerrado de Zariski geométricamente irreducible de un toro afín (producto de grupos multiplicativos). ^[20]

Función zeta local

Una función zeta local es una función de generación para el número de puntos en una variedad algebraica V sobre un campo finito F , en los finitos extensiones de campo de F . De acuerdo con las conjeturas de Weil (qv), estas funciones, para variedades no singulares , exhiben propiedades muy análogas a la función zeta de Riemann , incluida la hipótesis de Riemann .

METRO

Conjetura de Manin-Mumford

La conjetura Manin-Mumford , ahora demostrado por Michel Raynaud , estados que una curva C en su jacobiano variedad J sólo puede contener un número finito de puntos que son de orden finito en J , a menos que C = J . ^{[21] [22]}

Conjetura de Mordell

La conjetura de Mordell es ahora el teorema de Faltings , y establece que una curva de género al menos dos tiene solo un número finito de puntos racionales. La conjetura de Uniformidad establece que debería haber un límite uniforme en el número de tales puntos, dependiendo solo del género y el campo de definición.

Conjetura de Mordell-Lang

La conjetura de Mordell-Lang, ahora probada por Gerd Faltings , es una colección de conjeturas de Serge Lang que unifica la conjetura de Mordell y la conjetura de Manin-Mumford en una variedad abeliana o semi-abeliana . ^{[23] [24]}

Teorema de Mordell-Weil

El teorema de Mordell-Weil es un resultado fundamental que establece que para una variedad abeliana A sobre un campo numérico K, el grupo A ( K ) es un grupo abeliano generado finitamente . Esto se demostró inicialmente para los campos numéricos K , pero se extiende a todos los campos generados de forma finita.

Variedad mordelica

Una variedad mordelica es una variedad algebraica que solo tiene un número finito de puntos en cualquier campo generado de manera finita. ^[25]

norte

Altura ingenua

La altura ingenua o la altura clásica de un vector de números racionales es el valor absoluto máximo del vector de enteros coprimos obtenido al multiplicar por un mínimo común denominador . Esto puede usarse para definir la altura en un punto en el espacio proyectivo sobre Q , o de un polinomio, considerado como un vector de coeficientes, o de un número algebraico, desde la altura de su polinomio mínimo. ^[26]

Símbolo de Néron

El símbolo de Néron es un emparejamiento bimultiplicativo entre divisores y ciclos algebraicos en una variedad abeliana utilizada en la formulación de Néron de la altura de Néron-Tate como una suma de contribuciones locales. ^{[27] [28] [29]} El símbolo global de Néron, que es la suma de los símbolos locales, es solo el negativo del par de alturas. ^[30]

Altura de Néron-Tate

La altura de Néron-Tate (también conocida como la altura canónica ) en una variedad abeliana A es una función de altura (qv) que es esencialmente intrínseca, y una forma cuadrática exacta , en lugar de aproximadamente cuadrática con respecto a la adición de A como proporcionada por la teoría general de alturas. Puede definirse desde una altura general mediante un proceso de limitación; también hay fórmulas, en el sentido de que es una suma de aportes locales. ^[30]

Invariante de Nevanlinna

El invariante de Nevanlinna de un divisor amplio D en una variedad proyectiva normal X es un número real que describe la tasa de crecimiento del número de puntos racionales en la variedad con respecto a la inserción definida por el divisor. ^[31] Tiene propiedades formales similares a la abscisa de convergencia de la función zeta de altura y se conjetura que son esencialmente lo mismo. ^[32]

O

Reducción ordinaria

Una variedad abeliana A de dimensión d tiene una reducción ordinaria en un primo p si tiene una buena reducción en p y además la p- torsión tiene un rango d . ^[33]

Q

Cierre cuasi-algebraico

El tema del cierre cuasi-algebraico , es decir, la solubilidad garantizada por un número de variables polinomiales en el grado de una ecuación, surgió de los estudios del grupo de Brauer y el teorema de Chevalley-Warning . Se estancó ante los contraejemplos ; pero vea el teorema de Ax-Kochen de la lógica matemática .

R

Módulo de reducción de un número primo o ideal

Ver buena reducción .

Completar ideal

Un ideales repleta en un campo de número K es un producto formal de un ideales fraccionada de K y un vector de números reales positivos con componentes indexadas por los lugares infinitos de K . ^[34] Un divisor repleto es un divisor Arakelov . ^[4]

S

Conjetura de Sato-Tate

La conjetura de Sato-Tate describe la distribución de los elementos de Frobenius en los módulos Tate de las curvas elípticas sobre campos finitos obtenidos al reducir una curva elíptica dada sobre los racionales. Mikio Sato e, independientemente, John Tate ^{[35] lo} sugirieron alrededor de 1960. Es un prototipo de las representaciones de Galois en general.

El método de Skolem

Vea el método de Chabauty .

Conjunto especial

El conjunto especial en una variedad algebraica es el subconjunto en el que uno podría esperar encontrar muchos puntos racionales. La definición precisa varía según el contexto. Una definición es el cierre de Zariski de la unión de imágenes de grupos algebraicos bajo mapas racionales no triviales; alternativamente, se pueden tomar imágenes de variedades abelianas; ^[36] otra definición es la unión de todas las subvariedades que no son de tipo general. ^[19] Para las variedades abelianas, la definición sería la unión de todas las traducciones de las subvariedades abelianas adecuadas. ^[37] Para una variedad compleja, el conjunto especial holomórfico es el cierre de Zariski de las imágenes de todos los mapas holomórficos no constantes de C. Lang conjeturó que los conjuntos especiales analíticos y algebraicos son iguales. ^[38]

Teorema del subespacio

El teorema del subespacio de Schmidt muestra que los puntos de pequeña altura en el espacio proyectivo se encuentran en un número finito de hiperplanos. Schmidt también obtuvo una forma cuantitativa del teorema, en la que el número de subespacios que contienen todas las soluciones, y Schlickewei (1977) generalizó el teorema para permitir valores absolutos más generales en campos numéricos . El teorema se puede usar para obtener resultados en Diophantine ecuaciones tales como el teorema de Siegel en puntos integrales y solución de la ecuación S-unidad . ^[39]

T

Números de Tamagawa

La definición directa del número de Tamagawa funciona bien solo para grupos algebraicos lineales . Allí finalmente se demostró la conjetura de Weil sobre los números de Tamagawa . Para las variedades abelianas, y en particular la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer (qv), el enfoque del número de Tamagawa para un principio local-global falla en un intento directo, aunque ha tenido un valor heurístico durante muchos años. Ahora bien, una conjetura sofisticada del número de Tamagawa equivariante es un problema de investigación importante.

Conjetura de Tate

La conjetura de Tate ( John Tate , 1963) proporcionó un análogo a la conjetura de Hodge , también sobre ciclos algebraicos , pero dentro de la geometría aritmética. También dio, para las superficies elípticas , un análogo de la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer (qv), lo que llevó rápidamente a una aclaración de esta última y al reconocimiento de su importancia.

Curva de Tate

La curva de Tate es una curva elíptica particular sobre los números p-ádicos introducidos por John Tate para estudiar la reducción mala (ver reducción buena ).

Rango Tsen

El rango Tsen de un campo, llamado así por CC Tsen, quien introdujo su estudio en 1936, ^[40] es el número natural más pequeño i , si existe, de manera que el campo es de clase T _i : es decir, tal que cualquier sistema de polinomios sin término constante de grado d _j en n variables tiene un cero no trivial siempre que n > ∑ d _j ⁱ . Los campos algebraicamente cerrados son de rango Tsen cero. El rango Tsen es mayor o igual a la dimensión diofántica pero no se sabe si son iguales excepto en el caso del rango cero. ^[41]

U

Conjetura de uniformidad

Los uniformidad conjetura estados que para cualquier campo de número K y g > 2, hay una cota uniforme B ( g , K ) sobre el número de K puntos -racional en cualquier curva de género g . La conjetura se seguiría de la conjetura de Bombieri-Lang . ^[42]

Intersección improbable

Una intersección improbable es un subgrupo algebraico que cruza una subvariedad de una variedad toroidal o abeliana en un conjunto de dimensiones inusualmente grandes, como está involucrado en la conjetura de Mordell-Lang . ^[43]

V

Conjetura de Vojta

La conjetura de Vojta es un complejo de conjeturas de Paul Vojta , que establece analogías entre la aproximación diofántica y la teoría de Nevanlinna .

W

Pesos

El yoga de las pesas es una formulación de Alexander Grothendieck de analogías entre la teoría de Hodge y la cohomología l-ádica . ^[44]

Cohomología de Weil

La idea inicial, más tarde algo modificada, para probar las conjeturas de Weil (qv), era construir una teoría de cohomología que se aplicara a variedades algebraicas sobre campos finitos que serían tan buenos como la homología singular para detectar la estructura topológica, y que tuvieran mapeos de Frobenius actuando en de tal manera que el teorema del punto fijo de Lefschetz podría aplicarse al conteo en funciones zeta locales . Para historia posterior, ver motivo (geometría algebraica) , cohomología motívica .

Conjeturas de Weil

Las conjeturas de Weil fueron tres conjeturas muy influyentes de André Weil , que se hicieron públicas alrededor de 1949, sobre las funciones zeta locales. La demostración se completó en 1973. Aquellos que se prueban, quedan extensiones de la congruencia del teorema de Chevalley-Warning , que proviene de un método elemental, y mejoras de los límites de Weil , por ejemplo, mejores estimaciones para las curvas del número de puntos que las que provienen del método básico de Weil. teorema de 1940. Estos últimos resultan de interés para los códigos Goppa .

Distribuciones de Weil sobre variedades algebraicas

André Weil propuso una teoría en las décadas de 1920 y 1930 sobre la descomposición ideal prima de números algebraicos en coordenadas de puntos en variedades algebraicas. Ha permanecido algo subdesarrollado.

Función Weil

Una función de Weil en una variedad algebraica es una función de valor real definida a partir de algún divisor de Cartier que generaliza el concepto de función de Green en la teoría de Arakelov . ^[45] Se utilizan en la construcción de los componentes locales de la altura de Néron-Tate . ^[46]

Máquina de altura Weil

La máquina de altura de Weil es un procedimiento eficaz para asignar una función de altura a cualquier divisor en variedad proyectiva suave sobre un campo numérico (oa divisores Cartier en variedades no suaves). ^[47]

Ver también

• Topología aritmética
• Dinámica aritmética

Referencias

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2. Sutherland, Andrew V. (5 de septiembre de 2013). "Introducción a la geometría aritmética" (PDF) . Consultado el 22 de marzo de 2019 .
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Otras lecturas

• Dino Lorenzini (1996), Una invitación a la geometría aritmética , Librería AMS, ISBN 978-0-8218-0267-0