La resolución de Godement de una gavilla es una construcción en álgebra homológica que permite ver información cohomológica global sobre la gavilla en términos de información local proveniente de sus tallos. Es útil para calcular la cohomología de gavillas . Fue descubierto por Roger Godement .
Construcción de gobierno
Dado un espacio topológico X (más generalmente, un topos X con suficientes puntos), y una gavilla F sobre X, la construcción de Godement para F da una gavillaconstruido de la siguiente manera. Por cada punto, dejar denotar el tallo de F en x . Dado un conjunto abierto, definir
Un subconjunto abierto induce claramente un mapa de restricción , entonces es una gavilla . Uno comprueba fácilmente el axioma de la gavilla . También se prueba fácilmente quees flácido , lo que significa que cada mapa de restricción es sobreyectivo. El mapase puede convertir en un functor porque un mapa entre dos haces induce mapas entre sus tallos. Finalmente, hay un mapa canónico de gavillas.que envía cada sección al 'producto' de sus gérmenes . Este mapa canónico es una transformación natural entre el functor de identidad y.
Otra forma de ver es como sigue. Dejarsea el conjunto X con la topología discreta. Dejarser el mapa continuo inducido por la identidad. Induce functores de imagen directos e inversos adjuntos. y . Luego, y la unidad de este adjunto es la transformación natural descrita anteriormente.
Debido a esto adjunción, hay una mónada asociados en la categoría de haces en X . Usando esta mónada hay una manera de convertir una gavilla F en una gavilla cosimplicial coaumentada. Este coaugmented cosimplicial gavilla da lugar a un complejo de cocadenas aumentada que se define como la resolución Godement de F .
En términos más prácticos, dejemos , y deja denotar el mapa canónico. Para cada, dejar denotar , y deja denotar el mapa canónico. El resultante resolución es una resolución flácida de F , y su cohomology es la cohomología gavilla de F .
Referencias
- Godement, Roger (1973), Topologie algébrique et théorie des faisceaux , París: Hermann, MR 0345092
- Weibel, Charles A. (1994), Introducción al álgebra homológica , Cambridge University Press , doi : 10.1017 / CBO9781139644136 , ISBN 978-0-521-55987-4, MR 1269324