En matemáticas , los haces inyectivos de grupos abelianos se utilizan para construir las resoluciones necesarias para definir la cohomología del haz (y otros functores derivados , como Gavilla Ext ).
Hay otro grupo de conceptos relacionados aplicados a las gavillas : flácido ( frasco en francés), fino , blando ( mou en francés), acíclico . En la historia del sujeto se introdujeron antes del " Papel de Tohoku " de Alexander Grothendieck de 1957 , que mostraba que la noción de categoría abeliana de objeto inyectivofue suficiente para fundar la teoría. Las otras clases de gavillas son nociones históricamente más antiguas. El marco abstracto para definir la cohomología y los functores derivados no los necesita. Sin embargo, en la mayoría de situaciones concretas, las resoluciones mediante poleas acíclicas suelen ser más fáciles de construir. Por tanto, las poleas acíclicas sirven para fines de cálculo, por ejemplo, la secuencia espectral de Leray .
Gavillas inyectables
Una gavilla inyectiva es una gavilla que es un objeto inyectivo de la categoría de gavillas abelianas; en otras palabras, homomorfismos de a siempre se puede extender a cualquier gavilla conteniendo
La categoría de gavillas abelianas tiene suficientes objetos inyectivos: esto significa que cualquier gavilla es una subhecha de una gavilla inyectiva. Este resultado de Grothendieck se deriva de la existencia de un generador de la categoría (se puede escribir explícitamente y está relacionado con el clasificador de subobjetos ). Esto es suficiente para demostrar que existen functores derivados de la derecha de cualquier functor exacto izquierdo y que son únicos hasta el isomorfismo canónico.
Para fines técnicos, las poleas inyectivas suelen ser superiores a las otras clases de poleas mencionadas anteriormente: pueden hacer casi cualquier cosa que las otras clases puedan hacer, y su teoría es más simple y más general. De hecho, las poleas inyectables son flácidas ( frascos ), blandas y acíclicas. Sin embargo, hay situaciones en las que las otras clases de poleas ocurren naturalmente, y esto es especialmente cierto en situaciones computacionales concretas.
El concepto dual, gavillas proyectivas , no se usa mucho, porque en una categoría general de gavillas no hay suficientes: no todas las gavillas son el cociente de una gavilla proyectiva y, en particular, las resoluciones proyectivas no siempre existen. Este es el caso, por ejemplo, cuando se mira la categoría de poleas en el espacio proyectivo en la topología de Zariski. Esto causa problemas al intentar definir functores derivados izquierdos de un functor exacto derecho (como Tor). Esto a veces se puede hacer por medios ad hoc: por ejemplo, los functores derivados de la izquierda de Tor se pueden definir usando una resolución plana en lugar de proyectiva, pero se necesita algo de trabajo para demostrar que esto es independiente de la resolución. No todas las categorías de poleas se encuentran con este problema; por ejemplo, la categoría de gavillas en un esquema afín contiene suficientes proyectivos.
Gavillas acíclicas
Una gavilla acíclica sobre X es uno tal que todos los grupos de cohomología de gavilla superior desaparecen.
Los grupos de cohomología de cualquier haz se pueden calcular a partir de cualquier resolución acíclica del mismo (esto se conoce con el nombre de teorema de De Rham-Weil ).
Finas gavillas
Una gavilla fina sobre X es una con " particiones de unidad "; más precisamente para cualquier cubierta abierta del espacio X podemos encontrar una familia de homomorfismos de la gavilla a sí mismo con suma 1 tal que cada homomorfismo es 0 fuera de algún elemento de la cubierta abierta.
Las poleas finas generalmente solo se usan sobre espacios de Hausdorff X paracompactos . Ejemplos típicos son el haz de gérmenes de funciones continuas de valor real en un espacio de este tipo, o funciones suaves sobre un colector suave (paracompacto de Hausdorff), o módulos sobre estos haces de anillos. Además, las finas poleas sobre los espacios paracompactos de Hausdorff son suaves y acíclicas.
Se puede encontrar la resolución de una gavilla en un colector liso mediante gavillas finas utilizando la resolución de Alexander-Spanier. [1]
Como aplicación, considere una variedad X real . Existe la siguiente resolución de la gavilla constantepor las finas gavillas de formas diferenciales (lisas) :
Esta es una resolución, es decir, un complejo exacto de gavillas del lema de Poincaré . La cohomología de X con valores en Por tanto, puede calcularse como la cohomología del complejo de formas diferenciales definidas globalmente:
Gavillas blandas
Una gavilla suave sobre X es uno tal que cualquier sección sobre cualquier subconjunto cerrado de X puede extenderse a una sección global.
Las poleas blandas son acíclicas sobre los espacios de Hausdorff paracompactos.
Gavillas fofas o flácidas
Una gavilla de matraz (también llamada gavilla flácida ) es una gavilla con la siguiente propiedad: si es el espacio topológico base en el que se define la gavilla y
son subconjuntos abiertos , entonces el mapa de restricción
es sobreyectiva , como un mapa de grupos ( anillos , módulos , etc.).
Las poleas de matraz son útiles porque (por definición) sus secciones se extienden. Esto significa que son algunas de las gavillas más simples de manejar en términos de álgebra homológica . Cualquier gavilla tiene una incrustación canónica en la gavilla del matraz de todas las secciones posiblemente discontinuas del espacio étalé , y repitiendo esto podemos encontrar una resolución de matraz canónica para cualquier haz. Las resoluciones de matraces , es decir, las resoluciones por medio de poleas de matraces, son un enfoque para definir la cohomología de mazos .
Las poleas de matraz son suaves y acíclicas.
Flasque es una palabra francesa que a veces se ha traducido al inglés como fofo .
Referencias
- ^ Warner, Frank W. (1983). Fundamentos de colectores diferenciables y grupos de mentiras - Springer . Textos de Posgrado en Matemáticas. 94 . págs. 186, 181, 178, 170. doi : 10.1007 / 978-1-4757-1799-0 . ISBN 978-1-4419-2820-7.
- Godement, Roger (1998), Topologie algébrique et théorie des faisceaux , París: Hermann, ISBN 978-2-7056-1252-8, MR 0345092
- Grothendieck, Alexander (1957), "Sur quelques points d'algèbre homologique", The Tohoku Mathematical Journal , Second Series, 9 (2): 119-221, doi : 10.2748 / tmj / 1178244839 , ISSN 0040-8735 , MR 0102537
- "Cohomología de la gavilla y resoluciones inyectivas" en MathOverflow