La construcción Goldberg-Coxeter u operación Goldberg-Coxeter ( construcción GC u operación GC ) es una operación gráfica definida en gráficos poliédricos regulares con grado 3 o 4. [1] [2] También se aplica al gráfico dual de estos gráficos, es decir gráficos con "caras" triangulares o cuadriláteras. Se puede pensar que la construcción GC subdivide las caras de un poliedro con una celosía de polígonos triangulares, cuadrados o hexagonales, posiblemente sesgados con respecto a la cara original: es una extensión de los conceptos introducidos por los poliedros de Goldberg ypoliedros geodésicos . La construcción GC se estudia principalmente en química orgánica para su aplicación a fullerenos , [1] [2] pero se ha aplicado a nanopartículas , [3] diseño asistido por computadora , [4] tejido de cestas , [5] [6] y el estudio general de teoría de grafos y poliedros . [7]
La construcción de Goldberg-Coxeter se puede denotar como , dónde es el gráfico en el que se está operando, y son enteros, , y .
Historia
Michael Goldberg introdujo el poliedro de Goldberg en 1937. [8] Buckminster Fuller acuñó el término " cúpula geodésica " en la década de 1940, aunque mantuvo en gran medida las matemáticas detrás de las cúpulas como un secreto comercial. [9] Las cúpulas geodésicas son el dual geométrico de (una sección de) un poliedro de Goldberg: una cúpula geodésica completa puede considerarse como un poliedro geodésico , dual al poliedro de Goldberg. En 1962, Donald Caspar y Aaron Klug publicaron un artículo sobre la geometría de las cápsides virales que aplicó y amplió los conceptos de Goldberg y Fuller. [10] HSM Coxeter publicó un artículo en 1971 que cubría gran parte de la misma información. [11] Caspar y Klug fueron los primeros en publicar la construcción correcta más general de un poliedro geodésico, haciendo del nombre "construcción Goldberg-Coxeter" una instancia de la ley de la eponimia de Stigler . [12]
El descubrimiento de Buckminsterfullereno en 1985 motivó la investigación de otras moléculas con la estructura de un poliedro de Goldberg. Los términos "fullereno de Goldberg-Coxeter" y "construcción de Goldberg-Coxeter" fueron introducidos por Michel Deza en 2000. [13] [14] Esta es también la primera vez que se considera el caso de grado 4.
Construcción
Esta sección sigue en gran medida los dos artículos de Deza et al. [1] [2]
Polígonos maestros
n-Regular | 3 | 4 |
---|---|---|
Dominio | Eisenstein | Gaussiano |
Unidad contigua | ||
Norma | . | |
Polígono maestro |
Se pueden utilizar celosías regulares sobre el plano complejo para crear "polígonos maestros". En la terminología del domo geodésico, esta es la "estructura de ruptura" o "triángulo poliédrico principal" (PPT). El caso 4-regular usa la celosía cuadrada sobre los enteros gaussianos , y el caso 3-regular usa la celosía triangular sobre los enteros de Eisenstein . Por conveniencia, se utiliza una parametrización alternativa de los enteros de Eisenstein, basada en la sexta raíz de la unidad en lugar de la tercera. [a] La definición habitual de enteros de Eisenstein utiliza el elemento. Una norma, se define como el cuadrado del valor absoluto del número complejo. Para gráficos de 3 regulares, esta norma es el número T o número de triangulación utilizado en virología.
El polígono maestro es un triángulo o cuadrado equilátero colocado sobre la celosía. La tabla de la derecha proporciona fórmulas para los vértices de los polígonos maestros en el plano complejo, y la galería a continuación muestra el triángulo y el cuadrado maestros (3,2). Para que el polígono se pueda describir mediante un solo número complejo, un vértice se fija en 0. Hay varios números que pueden describir el mismo polígono: estos son asociados entre sí: si y son asociados, entonces en los Eisensteins o en los gaussianos para algún número entero . El conjunto de elementos asociados entre sí es una clase de equivalencia , y el elemento de cada clase de equivalencia que tiene y es la forma normal .
(3,2) triángulo maestro sobre cuadrícula triangular
(3,2) cuadrado maestro sobre cuadrícula cuadrada
Polígonos maestros y el operador , se puede clasificar de la siguiente manera:
- Clase I:
- Clase II:
- Clase III: todos los demás. Los operadores de clase III existen en pares quirales: es el par quiral de .
A continuación se muestran tablas de triángulos y cuadrados maestros. La clase I corresponde a la primera columna y la clase II corresponde a la diagonal con un fondo ligeramente más oscuro.
Polígonos maestros para triángulos
Triángulos maestros hasta (8,8) | |||||||||
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0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
1 | |||||||||
2 | |||||||||
3 | |||||||||
4 | |||||||||
5 | |||||||||
6 | |||||||||
7 | |||||||||
8 |
Polígonos maestros para cuadrados
Cuadrados maestros hasta (8,8) | |||||||||
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0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
1 | |||||||||
2 | |||||||||
3 | |||||||||
4 | |||||||||
5 | |||||||||
6 | |||||||||
7 | |||||||||
8 |
La composición de las operaciones de Goldberg-Coxeter corresponde a la multiplicación de números complejos. Si y solo si (es decir, la serie de operaciones de la izquierda produce un gráfico isomorfo al de la derecha), luego para un gráfico de 3 regulares está en la clase de equivalencia de , y para un gráfico de 4 regulares está en la clase de equivalencia de . Hay algunas consecuencias útiles de esto:
- La aplicación de operaciones repetidas de Goldberg-Coxeter es conmutativa y asociativa .
- Conjugación compleja del elemento o corresponde a la reflexión del gráfico construido.
- Dado que los enteros gaussianos y los enteros euclidianos son dominios euclidianos , los elementos de esos dominios se pueden factorizar de forma única en elementos primos. Por lo tanto, también tiene sentido descomponer un operador Goldberg-Coxeter en una secuencia de operadores Goldberg-Coxeter "principales", y esta secuencia es única (hasta el reordenamiento).
Realización de la construcción de GC
Los pasos para realizar la construcción de GC son como sigue:
- Determine el polígono maestro, basado en , , y
- Si opera en un gráfico regular de 3 o 4 (en lugar de un gráfico con caras triangulares / cuadriláteras), tome su gráfico dual . Este gráfico dual tendrá caras triangulares o cuadriláteras.
- Reemplace las caras del gráfico triangulado / cuadrangulado con el polígono maestro. Tenga en cuenta que los gráficos planos tienen una cara "externa" que también debe reemplazarse. En el siguiente ejemplo, esto se hace adjuntándolo a un lado del gráfico y conectando los otros lados según sea necesario. Esto introduce temporalmente bordes superpuestos en el gráfico, pero el gráfico resultante es plano. Los vértices se pueden reorganizar para que no haya bordes superpuestos.
- Si el gráfico original era un gráfico regular de 3 o 4, tome el resultado dual del paso 3. De lo contrario, el resultado del paso 3 es la construcción del GC.
A continuación se muestra un ejemplo, donde está construido sobre el esqueleto de un cubo . En los dos últimos gráficos, las líneas azules son los bordes de, mientras que las líneas negras son los bordes de . (Las líneas punteadas son bordes de gráfico normales, simplemente dibujados de manera diferente para hacer más visibles los bordes de gráfico superpuestos). y permanecer en , mientras que los vértices azules son creados recientemente por la construcción y solo están en .
Plaza principal (1,1)
Poliedro inicial (cubo)
, el esqueleto del cubo
Paso intermedio de construcción .
El resultado , después de la reordenación
Incrustación del resultado ( dodecaedro rómbico )
Extensiones
La construcción de Goldberg-Coxeter se puede extender fácilmente a algunos gráficos no planos, como los gráficos toroidales . [15] Los operadores de clase III, debido a su quiralidad, requieren un gráfico que se pueda incrustar en una superficie orientable , pero los operadores de clase I y II se pueden utilizar en gráficos no orientables.
Ver también
- Cuadrícula geodésica
- Cubo esférico cuadrilátero
- Superficie de subdivisión de bucle
- Superficie de subdivisión Catmull-Clark
- Notación de poliedro de Conway
Notas al pie
- ^ Esto simplifica la definición de la clase de equivalencia, hace que la definición de la clase sea la misma para gráficos regulares de 3 y 4, y se corresponde con la parametrización utilizada tradicionalmente para domos geodésicos y poliedros de Goldberg.
Referencias
- ^ a b c Deza, M .; Dutour, M (2004). "Construcciones de Goldberg-Coxeter para gráficos planos de 3 y 4 valentes" . La Revista Electrónica de Combinatoria . 11 : # R20. doi : 10.37236 / 1773 .
- ^ a b c Deza, M.-M .; Sikirić, MD; Shtogrin, MI (2015). "Construcción y parametrización de Goldberg-Coxeter" . Estructura geométrica de gráficos relevantes para la química: zigzags y circuitos centrales . Saltador. págs. 131-148. ISBN 9788132224495.
- ^ Indelicato, G; Burkhard, P; Twarock, R (2017). "Clasificación de arquitecturas de nanopartículas de proteínas autoensamblables para aplicaciones en el diseño de vacunas" . Ciencia Abierta de la Royal Society . 4 (4): 161092. Bibcode : 2017RSOS .... 461092I . doi : 10.1098 / rsos.161092 . PMC 5414263 . PMID 28484626 .
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- ^ Kenner, H. (1976). Matemáticas geodésicas y cómo usarlas . Prensa de la Universidad de California.
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