Un poliedro geodésico es un poliedro convexo hecho de triángulos. Suelen tener simetría icosaédrica , por lo que tienen 6 triángulos en un vértice, excepto 12 vértices que tienen 5 triángulos. Son el dual de los correspondientes poliedros de Goldberg con caras en su mayoría hexagonales.
Los poliedros geodésicos son una buena aproximación a una esfera para muchos propósitos y aparecen en muchos contextos diferentes. Las más conocidas pueden ser las cúpulas geodésicas diseñadas por Buckminster Fuller , cuyos poliedros geodésicos llevan el nombre. Las rejillas geodésicas utilizadas en geodesia también tienen la geometría de poliedros geodésicos. Las cápsides de algunos virus tienen la forma de poliedros geodésicos, [1] [2] y las moléculas de fullereno tienen la forma de poliedros de Goldberg . Los poliedros geodésicos están disponibles como primitivas geométricas en el paquete de software de modelado Blender 3D, que las denomina icosferas : son una alternativa a la esfera UV , teniendo una distribución de vértices más regular que la esfera UV. [3] [4] La construcción de Goldberg-Coxeter es una expansión de los conceptos subyacentes a los poliedros geodésicos.
En los modelos esféricos de Magnus Wenninger , los poliedros reciben notación geodésica en la forma {3, q +} b , c , donde {3, q } es el símbolo de Schläfli para el poliedro regular con caras triangulares y q- vértices de valencia . El símbolo + indica la valencia de los vértices que se están incrementando. b , c representan una descripción de subdivisión, con 1,0 representa la forma base. Hay 3 clases de simetría de formas: {3,3+} 1,0 para un tetraedro , {3,4+}1,0 para un octaedro y {3,5+} 1,0 para un icosaedro .
La notación dual para los poliedros de Goldberg es { q +, 3} b , c , con vértices de valencia-3, con q caras -gonales y hexagonales. Hay 3 clases de simetría de formas: {3 +, 3} 1,0 para un tetraedro , {4 +, 3} 1,0 para un cubo y {5 +, 3} 1,0 para un dodecaedro .
Las subdivisiones de la clase III aquí no se alinean simplemente con los bordes originales. Las subcuadrículas se pueden extraer mirando un mosaico triangular , colocando un triángulo grande en la parte superior de los vértices de la cuadrícula y senderos para caminar desde un vértice b pasos en una dirección, y un giro, ya sea en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario, y luego otro c pasos al siguiente vértice primario.
Por ejemplo, el icosaedro es {3,5+} 1,0 , y el pentakis dodecaedro , {3,5+} 1,1 se ve como un dodecaedro regular con caras pentagonales divididas en 5 triángulos.