GP (1,4) = {5 +, 3} 1,4 | GP (4,4) = {5 +, 3} 4,4 |
GP (7,0) = {5 +, 3} 7,0 | GP (3,5) = {5 +, 3} 3,5 |
GP (10,0) = {5 +, 3} 10,0 Equilátero y esférico |
En matemáticas , y más específicamente en combinatoria poliédrica , un poliedro de Goldberg es un poliedro convexo hecho de hexágonos y pentágonos. Fueron descritos por primera vez en 1937 por Michael Goldberg (1902-1990). Están definidos por tres propiedades: cada cara es un pentágono o un hexágono, exactamente tres caras se encuentran en cada vértice y tienen simetría icosaédrica rotacional . No son necesariamente simétricas en espejo; por ejemplo, GP (5,3) y GP (3,5) son enantiomorfos entre sí. Un poliedro de Goldberg es un poliedro dual de una esfera geodésica .
Una consecuencia de la fórmula del poliedro de Euler es que un poliedro de Goldberg siempre tiene exactamente doce caras pentagonales. La simetría icosaédrica asegura que los pentágonos sean siempre regulares y que siempre haya 12 de ellos. Si los vértices no están restringidos a una esfera, el poliedro se puede construir con caras planas equiláteras (pero no equiangulares en general).
Ejemplos simples de poliedros de Goldberg incluyen el dodecaedro y el icosaedro truncado . Otras formas pueden ser descritos mediante la adopción de un ajedrez caballero se mueven de un pentágono a las siguientes: primera toma m pasos en una dirección, a continuación, gire 60 ° a la izquierda y tomar n pasos. Tal poliedro se denota GP ( m , n ). Un dodecaedro es GP (1,0) y un icosaedro truncado es GP (1,1).
Se puede aplicar una técnica similar para construir poliedros con simetría tetraédrica y simetría octaédrica . Estos poliedros tendrán triángulos o cuadrados en lugar de pentágonos. Estas variaciones reciben subíndices de números romanos que indican el número de lados en las caras no hexagonales: GP III (n, m), GP IV (n, m) y GP V (n, m).
Elementos
El número de vértices, aristas y caras de GP ( m , n ) puede calcularse a partir m y n , con T = m 2 + mn + n 2 = ( m + n ) 2 - MN , dependiendo de uno de los tres simetría sistemas: [1] El número de caras no hexagonales se puede determinar usando la característica de Euler, como se demuestra aquí .
Simetría | Icosaédrico | Octaédrico | Tetraédrico |
---|---|---|---|
Base | Dodecaedro GP V (1,0) = {5 +, 3} 1,0 | Cubo GP IV (1,0) = {4 +, 3} 1,0 | Tetraedro GP III (1,0) = {3 +, 3} 1,0 |
Imagen | |||
Símbolo | GP V (m, n) = {5 +, 3} m, n | GP IV (m, n) = {4 +, 3} m, n | GP III (m, n) = {3 +, 3} m, n |
Vértices | |||
Bordes | |||
Caras | |||
Caras por tipo | 12 {5} y 10 ( T - 1) {6} | 6 {4} y 4 ( T - 1) {6} | 4 {3} y 2 ( T - 1) {6} |
Construcción
La mayoría de los poliedros de Goldberg se pueden construir usando la notación de poliedro de Conway comenzando con semillas de (T) etraedro, (C) ube y (D) odecaedro. El operador de chaflán , c , reemplaza todas las aristas por hexágonos, transformando GP ( m , n ) a GP (2 m , 2 n ), con un multiplicador T de 4. El operador kis truncado , y = tk , genera GP (3, 0), transformando GP ( m , n ) en GP (3 m , 3 n ), con un multiplicador T de 9.
Para las formas de clase 2, el operador dual kis , z = dk , transforma GP ( a , 0) en GP ( a , a ), con un multiplicador T de 3. Para las formas de clase 3, el operador de remolino , w , genera GP ( 2,1), con un multiplicador T de 7. Un generador de remolino en sentido horario y antihorario, w w = wrw genera GP (7,0) en la clase 1. En general, un remolino puede transformar un GP ( a , b ) en GP ( a + 3 b , 2 ab ) para a > by la misma dirección quiral. Si las direcciones quirales se invierten, GP ( a , b ) se convierte en GP (2 a + 3 b , a - 2 b ) si a ≥ 2 b , y GP (3 a + b , 2 b - a ) si a <2 b .
Ejemplos de
Frecuencia | (1,0) | (2,0) | (3,0) | (4,0) | (5,0) | (6,0) | (7,0) | (8,0) | ( m , 0) |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
T | 1 | 4 | 9 | dieciséis | 25 | 36 | 49 | 64 | m 2 |
Icosaédrico (Goldberg) | dodecaedro regular | dodecaedro biselado | más | ||||||
Octaédrico | cubo | cubo biselado | más | ||||||
Tetraédrico | tetraedro | tetraedro biselado | más |
Frecuencia | (1,1) | (2,2) | (3,3) | (4,4) | (5,5) | (6,6) | (7,7) | (8,8) | ( m , m ) |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
T | 3 | 12 | 27 | 48 | 75 | 108 | 147 | 192 | 3 m 2 |
Icosaédrico (Goldberg) | icosaedro truncado | más | |||||||
Octaédrico | octaedro truncado | más | |||||||
Tetraédrico | tetraedro truncado | más |
Frecuencia | (1,2) | (1,3) | (2,3) | (1,4) | (2,4) | (3,4) | (1,5) | ( m , n ) |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
T | 7 | 13 | 19 | 21 | 28 | 37 | 31 | m 2 + mn + n 2 |
Icosaédrico (Goldberg) | más | |||||||
Octaédrico | más | |||||||
Tetraédrico | más |
Ver también
- Cápside
- Esfera geodésica
- Fullereno # Otras buckyballs
- Notación de poliedro de Conway
- Construcción Goldberg – Coxeter
Notas
- ^ Conjetura del ángulo central igual de Clinton, JOSEPH D. CLINTON
Referencias
- Goldberg, Michael (1937). "Una clase de poliedros multi-simétricos" . Revista matemática de Tohoku .
- Joseph D. Clinton, la conjetura del ángulo central igual de Clinton
- Hart, George (2012). "Poliedros de Goldberg". En Senechal, Marjorie (ed.). Shaping Space (2ª ed.). Saltador. págs. 125-138. doi : 10.1007 / 978-0-387-92714-5_9 . [1]
- Hart, George (18 de junio de 2013). "Impresiones matemáticas: poliedros de Goldberg" . Noticias de ciencia de Simons.
- Schein, S .; Gayed, JM (25 de febrero de 2014). "Cuarta clase de poliedro equilátero convexo con simetría poliédrica relacionada con fullerenos y virus" . Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 111 (8): 2920–2925. doi : 10.1073 / pnas.1310939111 . ISSN 0027-8424 . PMC 3939887 . PMID 24516137 .
enlaces externos
- Icosaedros geodésicos duales
- Variaciones de Goldberg: nuevas formas para jaulas moleculares Los hexágonos planos y los pentágonos se unen en un nuevo giro en el antiguo poliédrico, por Dana Mackenzie, 14 de febrero de 2014