Buena cobertura (topología algebraica)
En matemáticas , una cubierta abierta de un espacio topológico es una familia de subconjuntos abiertos tal que es la unión de todos los conjuntos abiertos. Una buena cobertura es una cobertura abierta en la que todos los conjuntos y todas las intersecciones no vacías de conjuntos finitos-muchos son contraíbles ( Petersen 2006 ).
El concepto fue introducido por André Weil en 1952 para variedades diferenciables , exigiendo que sean diferenciablemente contráctiles. Una versión moderna de esta definición aparece en Bott & Tu (1982) .
Una razón importante para la noción de una buena cobertura es que la secuencia espectral de Leray de un haz de fibras degenera para una buena cobertura, por lo que la cohomología Čech asociada con una buena cobertura es la misma que la cohomología Čech del espacio. (Tal cubierta se conoce como cubierta de Leray ). Sin embargo, a los efectos de calcular la cohomología de Čech, basta con tener una definición más relajada de una buena cubierta en la que todas las intersecciones de un número finito de conjuntos abiertos tienen componentes contráctiles conectados. Esto se deriva del hecho de que los funtores derivados superiores se pueden calcular utilizando resoluciones acíclicas .
La superficie bidimensional de una esfera tiene una cubierta abierta por dos conjuntos contraíbles, vecindades abiertas de hemisferios opuestos. Sin embargo, estos dos conjuntos tienen una intersección que forma una banda ecuatorial no contráctil. Para formar una buena cubierta para esta superficie, se necesitan al menos cuatro juegos abiertos. Se puede formar una buena cubierta proyectando las caras de un tetraedro sobre una esfera en la que está inscrito y tomando una vecindad abierta de cada cara. La definición más relajada de una buena portada nos permite hacer esto usando solo tres conjuntos abiertos. Se puede formar una cubierta eligiendo dos puntos diametralmente opuestos en la esfera, dibujando tres segmentos que no se intersecan sobre la esfera que los conecta y tomando vecindades abiertas de las caras resultantes.
