Cubierta de Leray

En matemáticas , una cubierta de Leray es una cubierta de un espacio topológico que permite calcular fácilmente su cohomología . Estas cubiertas llevan el nombre de Jean Leray .

La cohomología de la gavilla mide hasta qué punto una secuencia localmente exacta en un espacio topológico fijo, por ejemplo, la secuencia de De Rham , no logra ser globalmente exacta. Su definición, utilizando functores derivados , es razonablemente natural, aunque técnica. Además, propiedades importantes, como la existencia de una secuencia larga exacta en cohomología correspondiente a cualquier secuencia corta exacta de haces , se derivan directamente de la definición. Sin embargo, es prácticamente imposible calcularlo a partir de la definición. Por otro lado, la cohomología Čech con respecto a una tapa abiertase adapta bien al cálculo, pero de utilidad limitada porque depende de la tapa abierta elegida, no solo de las poleas y del espacio. Tomando un límite directo de la cohomología Čech sobre cubiertas arbitrariamente finas, obtenemos una teoría de la cohomología Čech que no depende de la cubierta abierta elegida. En circunstancias razonables (por ejemplo, si el espacio topológico es paracompacto ), la cohomología del functor derivado concuerda con esta cohomología de Čech obtenida por límites directos. Sin embargo, al igual que la cohomología de functor derivada, esta cohomología de Čech independiente de la cobertura es prácticamente imposible de calcular a partir de la definición. La condición de Leray en una cubierta abierta asegura que la cubierta en cuestión ya sea "suficientemente fina". La cohomología del functor derivado concuerda con la cohomología de Čech con respecto a cualquier cobertura de Leray.

Sea una cubierta abierta del espacio topológico y un haz en X. Decimos que es una cubierta de Leray con respecto a si, para cada conjunto finito no vacío de índices, y para todos , tenemos eso , en la cohomología del functor derivado. ^[1] Por ejemplo, si es un esquema separado y es cuasicoherente, entonces cualquier cubierta de subesquemas afines abiertos es una cubierta de Leray. ^[2] ${\ Displaystyle {\ mathfrak {U}} = \ {U_ {i} \}}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {U}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle \ {i_ {1}, \ ldots, i_ {n} \}}$ ${\ Displaystyle k> 0}$ ${\ Displaystyle H ^ {k} (U_ {i_ {1}} \ cap \ cdots \ cap U_ {i_ {n}}, {\ mathcal {F}}) = 0}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle X}$