En la física cuántica , un estado cuántico es una entidad matemática que proporciona una distribución de probabilidad para los resultados de cada posible medición en un sistema. El conocimiento del estado cuántico, junto con las reglas de la evolución del sistema en el tiempo se agota todo lo que se puede predecir sobre el comportamiento del sistema. Una mezcla de estados cuánticos es de nuevo un estado cuántico. Estados cuánticos que no se pueden escribir como una mezcla de otros estados son llamados estados cuánticos puros , mientras que todos los demás estados se llaman estados cuánticos mixtos . Un estado cuántico puro puede ser representado por un rayo en un espacio de Hilbert sobre elnúmeros complejos , [1] [2] , mientras que los estados mixtos se representan por matrices de densidad , que son los operadores semidefinida positiva que actúan sobre los espacios de Hilbert. [3] [4]
Estados puros también son conocidos como vectores de estado o las funciones de onda , el último término de aplicar en particular cuando se representan como funciones de la posición o cantidad de movimiento. Por ejemplo, cuando se trata con el espectro de energía de la de electrones en un átomo de hidrógeno , los vectores de estado pertinentes se identifican por el número cuántico principal n , el momento angular cuántico número l , el número cuántico magnético m , y los de espín componente z s z . Para otro ejemplo, si el espín de un electrón se mide en cualquier dirección, por ejemplo con un experimento de Stern-Gerlach , hay dos resultados posibles: arriba o abajo. El espacio de Hilbert para giro del electrón es por lo tanto de dos dimensiones, que constituye un qubit . Un estado puro que aquí está representado por una de dos dimensiones complejas del vector, Con una longitud de uno; es decir, con
dónde y son los valores absolutos de y . Un estado mixto, en este caso, tiene la estructura de unamatriz que es hermitiana y positiva semi-definida, y tiene traza 1. [5] se da un caso más complicado (en notación bra-ket ) por el estado singlete , que ejemplifica el entrelazamiento cuántico :
que consiste en la superposición de estados de espín conjuntos para dos partículas con espín 1 / 2 . Los satisface estado singlete la propiedad de que si giros de las partículas se miden a lo largo de la misma dirección entonces o bien el giro de la primera partícula se observa y el giro de la segunda partícula se observa hacia abajo, o el primero se observa hacia abajo y el segundo uno se observa arriba, ambas posibilidades se producen con igual probabilidad.
Un estado cuántico mixto corresponde a una mezcla probabilística de estados puros; sin embargo, diferentes distribuciones de estados puros pueden generar (es decir, físicamente indistinguibles) estados mixtos equivalentes. El Schrödinger-HJW teorema clasifica la multitud de maneras de escribir un estado mixto dado como combinación convexa de estados puros. [6] Antes de que un particular, la medición se realiza en un sistema cuántico, la teoría sólo da una distribución de probabilidad para el resultado, y la forma que esta distribución toma está completamente determinada por el estado cuántico y los operadores lineales que describen la medición. Las distribuciones de probabilidad para diferentes medidas exhiben compensaciones ejemplificados por el principio de incertidumbre : un estado que implica una estrecha propagación de posibles resultados para un experimento implica necesariamente una amplia propagación de posibles resultados para otro.
Descripción conceptual
Estados puros
En la formulación matemática de la mecánica cuántica , los estados cuánticos puros corresponden a vectores en un espacio de Hilbert , mientras que cada cantidad observable (como la energía o impulso de una partícula ) se asocia con un matemático operador . El operador sirve como una función lineal que actúa sobre los estados del sistema. Los valores propios del operador se corresponden con los posibles valores de la observable. Por ejemplo, es posible observar una partícula con un impulso de 1 kg⋅m / s si y sólo si uno de los valores propios del operador impulso es 1 kg⋅m / s. El correspondiente vector propio (que los físicos llaman un estado propio ) con valor propio 1 kg⋅m / s sería un estado cuántico con un valor definido, bien definida de impulso de 1 kg⋅m / s, sin incertidumbre cuántica . Si se mide su impulso, el resultado se garantiza que sea kg⋅m 1 / s.
Por otro lado, un sistema en una superposición de múltiples estados propios diferentes hace , en general, tienen la incertidumbre cuántica de lo observable dado. Podemos representar esta combinación lineal de estados propios como:
El coeficiente que corresponde a un estado en particular en la combinación lineal es un número complejo, permitiendo así que los efectos de interferencia entre los estados. Los coeficientes son dependientes del tiempo. ¿Cómo cambia un estado cuántico en el tiempo se rige por el operador de evolución temporal . Los simbolos y [a] que rodea elson parte de la notación bra-ket .
Mezclas estadísticas de los estados son un tipo diferente de combinación lineal. Una mezcla estadística de estados es un conjunto estadístico de los sistemas independientes. Mezclas estadísticos representan el grado de conocimiento, mientras que la incertidumbre dentro de la mecánica cuántica es fundamental. Matemáticamente, una mezcla estadística no es una combinación utilizando coeficientes complejos, sino más bien una combinación usando valores reales-, probabilidades positivos de diferentes estados. Un número representa la probabilidad de un sistema seleccionado de forma aleatoria estar en el estado . A diferencia del caso combinación lineal cada sistema está en un estado propio definido. [7] [8]
El valor esperado de un observable A es una media estadística de los valores medidos de la observable. Es decir esto, y la distribución de probabilidades, que se predice por teorías físicas.
No hay un estado que es al mismo tiempo un estado propio para todos los observables. Por ejemplo, no podemos preparar un estado tal que tanto la medición de la posición Q ( t ) y la medición impulso P ( t ) (en el mismo tiempo t ) se conocen con exactitud; al menos uno de ellos tendrá un rango de valores posibles. [b] Este es el contenido de la relación de incertidumbre Heisenberg .
Por otra parte, en contraste con la mecánica clásica, es inevitable que la realización de una medición en el sistema generalmente cambia su estado . [9] [10] [c] Más precisamente: Después de medir un observable A , el sistema estará en un estado propio de A ; por lo tanto el estado ha cambiado, a menos que el sistema ya en ese estado propio era. Esto expresa un tipo de consistencia lógica: Si medimos A dos veces en la misma ejecución del experimento, las mediciones de ser directamente consecutivas en el tiempo, [d] a continuación, van a producir los mismos resultados. Esto tiene algunas consecuencias extrañas, sin embargo, de la siguiente manera.
Consideremos dos observables incompatibles , A y B , donde A corresponde a una medida anterior en el tiempo de B . [e] Supóngase que el sistema está en un estado propio de B al inicio del experimento. Si medimos solamente B , todas las carreras del experimento producirán el mismo resultado. Si medimos primero A y luego B en la misma ejecución del experimento, el sistema transferirá a un estado propio de A después de la primera medición, y que será generalmente aviso de que los resultados de B son estadística. Por lo tanto: las mediciones de la mecánica cuántica se influyen mutuamente , y el orden en el que se llevan a cabo es importante.
Otra característica de los estados cuánticos se vuelve relevante si consideramos un sistema físico que consta de varios subsistemas; por ejemplo, un experimento con dos partículas en lugar de uno. La física cuántica permite ciertos estados, llamados estados entrelazados , que muestran ciertas correlaciones estadísticas entre las mediciones en las dos partículas que no pueden ser explicados por la teoría clásica. Para más detalles, véase el enredo . Estos estados entrelazados conducen a propiedades comprobables experimentalmente ( teorema de Bell ) que nos permiten distinguir entre modelos alternativos clásicos (no cuántica) y la teoría cuántica.
foto de Schrödinger frente a la imagen de Heisenberg
Uno puede tomar los observables a ser dependiente de tiempo, mientras que el estado σ se fijó una vez al comienzo del experimento. Este enfoque se denomina la imagen de Heisenberg . (Este enfoque fue tomada en la parte posterior de la discusión anterior, con distintos intervalos de tiempo observables P ( t ), Q ( t ).) Una lata, de manera equivalente, el tratamiento de los observables como fijo, mientras que el estado del sistema depende del tiempo ; que se conoce como la imagen de Schrödinger . (Este enfoque fue tomada en la parte anterior de la discusión anterior, con un estado variable en el tiempo.) Conceptualmente (y matemáticamente), los dos enfoques son equivalentes; la elección de uno de ellos es una cuestión de convención.
Ambos puntos de vista se utilizan en la teoría cuántica. Si bien no relativistas mecánica cuántica se formulan usualmente en términos de la imagen Schrödinger, la imagen Heisenberg se prefiere a menudo en un contexto relativista, que es, por la teoría de campo cuántico . Comparar con la imagen de Dirac . [12] : 65
El formalismo en la física cuántica
estados puros como los rayos en un espacio de Hilbert complejo
La física cuántica está formulado más comúnmente en términos de álgebra lineal , como sigue. Cualquier sistema dado se identifica con algunos finito o infinito-dimensional espacio de Hilbert . Los estados puros corresponden a vectores de norma 1. Así, el conjunto de todos los estados corresponde puros a la esfera unidad en el espacio de Hilbert, porque la esfera unidad se define como el conjunto de todos los vectores con norma 1.
Multiplicando un estado puro por un escalar es físicamente intrascendente (siempre y cuando el estado es considerado por sí mismo). Si un vector en un espacio de Hilbert complejo se puede obtener de otro vector multiplicando por algunos de no cero número complejo, los dos vectores se dice que corresponden a la misma "ray" en [1] : 50 y también para el mismo punto en el espacio proyectivo Hilbert de.
Notación bra-ket
Los cálculos de mecánica cuántica hacen uso frecuente de operadores lineales , productos escalares, espacio dual y la conjugación hermitiana . Con el fin de hacer tales cálculos fluyen suavemente, y para que sea innecesario (en algunos contextos) para entender completamente el álgebra lineal subyacente, Paul Dirac inventó una notación para describir los estados cuánticos, conocidos como notación bra-ket . Aunque los detalles de este están más allá del alcance de este artículo, algunas de las consecuencias de esto son:
- La expresión utilizada para denotar un vector de estado (que corresponde a un estado cuántico puro) toma la forma (donde el ""Puede ser reemplazado por cualquier otro símbolos, letras, números o palabras pares). Esto se puede contrastar con el habitual matemática notación, donde los vectores son generalmente más bajos de los casos las letras latinas, y es claro por el contexto que son de hecho los vectores .
- Dirac define dos tipos de vectores, sujetador y KET , duales entre sí. [F]
- cada KET está asociado de forma única con un denominado sujetador , denotado, Que corresponde al mismo estado cuántico física. Técnicamente, el sujetador es el adjunto del ket. Es un elemento del espacio dual , y relacionado con el KET por el teorema de representación de Riesz . En un espacio de dimensión finita con una base elegida, la escritura como un vector columna, es un vector fila; para obtenerlo acaba de tomar la transposición y la entrada a gota complejo conjugado de.
- Productos escalares [g] [h] (también llamados soportes ) son escritos de manera que se vea como un sujetador y ket lado de la otra:. (La frase "sujetador-ket" se supone que se asemejan a "soporte").
Girar
El momento angular tiene la misma dimensión ( M · L 2 · T -1 ) como la constante de Planck y, a escala cuántica, se comporta como un discreto grado de libertad de un sistema cuántico. [ cual? ] Mayoría de las partículas poseen una especie de momento angular intrínseco que no aparece en absoluto en la mecánica clásica y surge de generalización relativista de Dirac de la teoría. Matemáticamente se describe con espinores . En la mecánica cuántica no relativistas las representaciones de grupo de la Lie grupo SU (2) se utilizan para describir esta libertad adicional. Para una partícula dada, la elección de la representación (y por tanto el rango de posibles valores de la vuelta observable) se especifica por un número no negativo S que, en unidades de reducción de la constante de Planck ħ , es o bien un número entero (0, 1, 2 ...) o un medio entero (1/2, 3/2, 5/2 ...). Para una masiva partícula de spin S , su número cuántico de spin m siempre asume uno de los 2 S 1 Valores + posibles en el conjunto
Como consecuencia, el estado cuántico de una partícula de spin se describe mediante un vector -valued función de onda con valores en C 2 S 1 . De manera equivalente, que está representado por una función de valor complejo de cuatro variables: un discreto número cuántico variables (por el giro) se añade a las tres variables continuas habituales (para la posición en el espacio).
estados de muchos cuerpos y las estadísticas de partículas
El estado cuántico de un sistema de N partículas, cada uno potencialmente con giro, se describe por una función de valor complejo con cuatro variables por partícula, correspondiente a 3 coordenadas espaciales y de centrifugado , por ejemplo,
En este caso, las variables de spin m ν asumir valores del conjunto
dónde es el giro de ν -ésima partícula. para una partícula que no presenta giro.
El tratamiento de partículas idénticas es muy diferente para bosones (partículas con espín entero) frente fermiones (partículas con spin semi-entero). Lo anterior N función partícula a cualquiera de los dos debe ser simetriza (en el caso bosonic) o anti-simetriza (en el caso fermiónica) con respecto a los números de partículas. Si no todos los N partículas son idénticas, pero algunos de ellos son, a continuación, la función debe ser (anti) symmetrized por separado sobre las variables correspondientes a cada grupo de variables idénticas, de acuerdo con sus estadísticas (bosónicos o fermionic).
Los electrones son fermiones con S = 1/2, fotones (cuantos de luz) son bosones con S = 1 (aunque en el vacío son sin masa y no se pueden describir con la mecánica de Schrödinger).
Cuando simetrización o anti-simetrización es innecesario, N espacios partícula a de los estados pueden ser obtenidos simplemente por tensor de productos de espacios de una sola partícula, a la que volveremos más adelante.
estados base de los sistemas de una sola partícula
Como con cualquier espacio de Hilbert , si una base se elige para el espacio de Hilbert de un sistema, entonces cualquier ket puede ser expandido como una combinación lineal de esos elementos de la base. Simbólicamente, las TFE base dada, Cualquier ket puede ser escrito
donde c i son números complejos . En términos físicos, esto se describe diciendo quese ha expresado como una superposición cuántica de los estados. Si se eligen las TFE básicos a ser ortonormal (como suele ser el caso), entonces.
Un valor de la propiedad a destacar es que la normalización de los estados se caracterizan por
y de base ortonormal esto se traduce en
Expansiones de este tipo desempeñan un papel importante en la medida en la mecánica cuántica. En particular, si elson estados propios (con valores propios k i ) de un observable, y que observable se mide en el estado normalizado, Entonces la probabilidad de que el resultado de la medición es k i es | c i | 2 . (La condición de normalización anteriormente mandatos que la suma total de probabilidades es igual a uno.)
Un ejemplo particularmente importante es la base posición , que está consistiendo la base de estados propios con valores propios de la observable que corresponde a la posición de medición. [i] Si estos estados propios son no degenerados (por ejemplo, si el sistema es un solo, spinless de partículas), entonces cualquier ket está asociada con una función de valor complejo de un espacio tridimensional
- [k]
Esta función se llama la función de onda correspondiente a. De manera similar al caso discreto anteriormente, la probabilidad de densidad de la partícula que se encuentra en la posición es y los estados normalizados tienen
- .
En cuanto al conjunto continuo de la posición base , el estado es:
- .
Superposición de estados puros
Como se mencionó anteriormente, los estados cuánticos pueden ser superpuestas . Si y son dos TFE correspondientes a estados cuánticos, el ket
es un estado cuántico diferente (posiblemente no normalizado). Tenga en cuenta que tanto las amplitudes y fases ( argumentos ) de y influirán en el estado cuántico resultante. En otras palabras, por ejemplo, aunque incluso y (de verdad θ ) corresponden al mismo estado cuántico física, que son no intercambiables , ya y será no corresponderse con el mismo estado físico para todas las opciones de. Sin embargo, y se corresponden al mismo estado físico. A veces esto se expresa diciendo que los factores de fase son "globales" no físico, pero los factores de fase "relativas" son físicos e importante.
Un ejemplo práctico de superposición es el experimento de doble rendija , en el que los cables de superposición de interferencia cuántica . El fotón estado es una superposición de dos estados diferentes, una que corresponden a los viajes de fotones a través de la ranura izquierda, y el otro que corresponden a los viajes a través de la ranura derecha. La fase relativa de esos dos estados depende de la diferencia de las distancias de las dos rendijas. En función de esa fase, la interferencia es constructiva en algunos lugares y destructivo en otros, la creación de la figura de interferencia. Podemos decir que los estados superpuestos están en superposición coherente , por analogía con la coherencia en otros fenómenos de ondas.
Otro ejemplo de la importancia de la fase relativa en superposición cuántica es oscilaciones Rabi , donde la fase relativa de dos estados varía en el tiempo debido a la ecuación de Schrödinger . Los extremos de superposición resultantes hasta oscilante de ida y vuelta entre dos estados diferentes.
Los estados mixtos
Un estado cuántico puro es un estado que puede ser descrito por un solo vector ket, como se describe anteriormente. Un estado cuántico mixto es un conjunto estadístico de los estados puros (véase la mecánica estadística cuántica ). Los estados mixtos surgen inevitablemente de estados puros cuando, por un sistema cuántico compuestocon un enredado estado en él, la partees inaccesible para el observador. El estado de la partese expresa entonces como la traza parcial sobre.
Un estado mixto no puede ser descrito con un único vector ket. En su lugar, se describe por su asociado matriz de densidad (o operador densidad ), generalmente denotado ρ . Tenga en cuenta que las matrices de densidad pueden describir tanto mixtos y estados puros, tratándolos en el mismo plano. Por otra parte, un estado cuántico mixto en un sistema cuántico dado descrita por un espacio de Hilbertpuede ser siempre representado como la traza parcial de un estado puro cuántico (llamado purificación ) en un sistema bipartito más grande para una suficientemente grande espacio de Hilbert .
La matriz de densidad que describe un estado mixto se define para ser un operador de la forma
dónde es la fracción del conjunto en cada estado puro La matriz de densidad puede ser pensado como una forma de usar el de una sola partícula formalismo para describir el comportamiento de muchas partículas similares por dar una distribución de probabilidad (o conjunto) de estados que estas partículas se pueden encontrar en.
Un criterio simple para comprobar si una matriz de densidad está describiendo un estado puro o mixto es que el rastro de ρ 2 es igual a 1 si el estado es puro, y menos de 1 si el estado es mixta. [l] [14] Otra, equivalente, criterio es que la entropía von Neumann es 0 para un estado puro, y estrictamente positivo para un estado mixto.
Las reglas para la medición en la mecánica cuántica son particularmente simple de estado en términos de matrices de densidad. Por ejemplo, el (media de conjunto expectativa de valor ) de una medición correspondiente a un observable A está dada por
dónde son eigenkets y valores propios, respectivamente, para el operador A , y traza denota "tr". Es importante tener en cuenta que hay dos tipos de promedio se están produciendo, siendo uno una superposición cuántica ponderado durante los TFE básicosde los estados puros, y siendo el otro un estadístico (Said incoherente ) promedio con las probabilidades p s de esos estados.
De acuerdo con Eugene Wigner , [15] el concepto de mezcla fue presentada por Lev Landau . [16] [13] : 38-41
generalizaciones matemáticas
Unidos se pueden formular en términos de observables, en lugar de como vectores en un espacio vectorial. Estos son funcionales lineales normalizadas positivos en un C * -algebra , o, a veces otras clases de álgebra de observables. Ver Estado en un C * álgebra y Gelfand-Naimark-Segal construcción para más detalles.
Ver también
- Transición de electrones atómicos
- Esfera de Bloch
- Estado de Greenberger-Horne-Zeilinger
- Estado fundamental
- Introducción a la mecánica cuántica
- Teorema de no clonación
- Base ortonormal
- PBR teorema
- Oscilador armónico cuántico
- Puerta lógica cuántica
- Reducción de vector de estado , por razones históricas llama un colapso de la función de onda
- Estado estacionario
- estado de W
Notas
- ^ A veces escrita ">"; ver corchetes angulares .
- ^ Para evitar malentendidos: Aquí queremos decir que Q ( t ) y P ( t ) se mide en el mismo estado, pero no en la misma ejecución del experimento.
- ^ Dirac (1958), [11] p. 4: "Si un sistema es pequeño, no podemos observar que, sin producir una grave perturbación".
- ^ Es decir, separados por un retraso cero. Uno puede pensar que es detener el tiempo, a continuación, hacer las dos mediciones, una tras otra, y luego reanudar el tiempo. Por lo tanto, las mediciones se produjeron al mismo tiempo, pero todavía es posible decir que fue la primera.
- ^ Por el bien concreción, supongamos que A = Q ( t 1 ) y B = P ( t 2 ) en el ejemplo anterior, con t 2 > t 1 > 0.
- ^ Dirac (1958), [11] p. 20: "Los vectores del sujetador, ya que se han introducido aquí, son bastante un tipo diferente de vector a partir de las TFE, y hasta ahora no hay ninguna conexión entre ellos a excepción de la existencia de un producto escalar de un sujetador y un ket."
- ^ Dirac (1958), [11] p. 19: "Un producto escalar < B | A > aparece ahora como una expresión entre corchetes completa."
- ^ Gottfried (2013), [12] p. 31 : "para definir los productos escalares como entre los sujetadores y las TFE"
- ^ Tenga en cuenta que un estado es una superposición de diferentes estados de la base , entonces y son elementos del mismo espacio de Hilbert. Una partícula en el estado de se encuentra precisamente en la posición , Mientras que una partícula en el estado de se puede encontrar en diferentes posiciones con probabilidades correspondientes.
- ^ Landau (1965), [13] p. 17: " ∫ Ψ f ' Ψ f * d q = δ ( f ' - f ) " (el lado izquierdo corresponde a < f | f '> ), " ∫ δ ( f ' - f ) d f '= 1 " .
- ^ En el caso continuo, las TFE básicos no son TFE unidad (a diferencia del estado ): Se normalizaron según [j] es decir,(a la función delta de Dirac ), lo que significa que
- ^ Tenga en cuenta que este criterio funciona cuando la matriz de densidad se normaliza de manera que la traza de ρ es 1, como lo es para la definición estándar dada en esta sección. De vez en cuando una matriz de densidad se normalizará de manera diferente, en cuyo caso el criterio es
Referencias
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Otras lecturas
El concepto de estados cuánticos, en particular, el contenido de la sección de formalismo en la física cuántica anteriores, se trata en la mayoría de los libros de texto estándar de la mecánica cuántica.
Para una discusión de los aspectos conceptuales y una comparación con los estados clásicos, véase:
- Isham, Chris J (1995). Conferencias sobre la teoría cuántica: Matemática y estructurales fundaciones . Prensa del Imperial College . ISBN 978-1-86094-001-9.
Para una cobertura más detallada de los aspectos matemáticos, véase:
- Bratteli, Ola ; Robinson, Derek W (1987). Álgebras de operadores y Quantum estadísticos Mecánica 1 . Saltador. ISBN 978-3-540-17093-8. 2ª edición.En particular, véase la Sección. 2.3.
Para una discusión de las purificaciones de los estados cuánticos en común, véase el capítulo 2 de notas de la conferencia de John Preskill de Física 219 en Caltech.
Para una discusión de los aspectos geométricos ver:
- Bengtsson I; Życzkowski K (2006). Geometría de estados cuánticos . Cambridge: Cambridge University Press., Segunda edición revisada (2017)