En matemáticas , un código geométrico algebraico ( código AG ), también conocido como código Goppa , es un tipo general de código lineal construido mediante una curva algebraica. sobre un campo finito . Estos códigos fueron introducidos por Valerii Denisovich Goppa . En casos particulares, pueden tener interesantes propiedades extremas . No deben confundirse con los códigos binarios Goppa que se utilizan, por ejemplo, en el criptosistema McEliece .
Construcción
Tradicionalmente, un código AG se construye a partir de una curva proyectiva X no singular sobre un campo finito mediante el uso de una serie de distintos fijos - puntos racionales en:
Dejar ser un divisor en X , con un soporte que consta solo de puntos racionales y que es disjunto del. Por lo tanto
Según el teorema de Riemann-Roch , existe un espacio vectorial de dimensión finita único,, con respecto al divisor . El espacio de vector es un subespacio del campo de función de X .
Hay dos tipos principales de códigos AG que se pueden construir utilizando la información anterior.
Código de función
El código de función (o código dual ) con respecto a una curva X , un divisor y el set se construye de la siguiente manera.
Dejar , ser un divisor, con el definido como arriba. Por lo general, denotamos un código Goppa por C ( D , G ). Ahora sabemos todo lo que necesitamos para definir el código Goppa:
Por una base fija para L ( G ) sobre, el código Goppa correspondiente en se extiende sobre por los vectores
Por lo tanto,
es una matriz generadora para
De manera equivalente, se define como la imagen de
A continuación se muestra cómo los parámetros del código se relacionan con los parámetros clásicos de los sistemas lineales de divisores D en C (véase el teorema de Riemann-Roch para más información). La notación ℓ ( D ) significa la dimensión de L ( D ).
- Proposición A. La dimensión del código Goppa es
Prueba. Desde debemos demostrar que
Dejar luego entonces . Por lo tanto, Por el contrario, suponga luego desde
( G no "soluciona" los problemas con el, entonces f debe hacer eso en su lugar.) De ello se deduce que
- Proposición B. La distancia mínima entre dos palabras de código es
Prueba. Suponga que el peso Hamming dees d . Eso significa que para índices tenemos por Luego , y
Tomando grados en ambos lados y notando que
obtenemos
entonces
Código de residuo
El código de residuo se puede definir como el dual del código de función, o como el residuo de algunas funciones en el 's.
Referencias
- Key One Chung, Goppa Codes , diciembre de 2004, Departamento de Matemáticas, Universidad Estatal de Iowa.
enlaces externos
- Una tesis de pregrado sobre la teoría de la codificación geométrica algebraica
- Códigos Goppa de Key One Chung