En geometría algebraica , una variedad proyectiva sobre un campo algebraicamente cerrado k es un subconjunto de algún n- espacio proyectivo sobre k que es el lugar geométrico cero de alguna familia finita de polinomios homogéneos de n + 1 variables con coeficientes en k , que generan un ideal primo , el ideal definitorio de la variedad. De manera equivalente, una variedad algebraica es proyectiva si se puede incrustar como una subvariedad cerrada de Zariski de.
Una variedad proyectiva es una curva proyectiva si su dimensión es una; es una superficie proyectiva si su dimensión es dos; es una hipersuperficie proyectiva si su dimensión es uno menos que la dimensión del espacio proyectivo que la contiene; en este caso es el conjunto de ceros de un único polinomio homogéneo .
Si X es una variedad proyectiva definida por un ideal primo homogéneo I , entonces el anillo del cociente
se llama el coordinar anillo homogénea de X . Los invariantes básicos de X , como el grado y la dimensión, se pueden leer en el polinomio de Hilbert de este anillo graduado .
Las variedades proyectivas surgen de muchas formas. Están completos , lo que se puede expresar a grandes rasgos diciendo que no hay puntos "faltantes". Lo contrario no es cierto en general, pero el lema de Chow describe la estrecha relación de estas dos nociones. Demostrando que es una variedad proyectiva se realiza mediante el estudio de la línea paquetes o divisores de X .
Una característica sobresaliente de las variedades proyectivas son las limitaciones de finitud en la cohomología de la gavilla. Para variedades proyectivas suaves, la dualidad de Serre puede verse como un análogo de la dualidad de Poincaré . También conduce al teorema de Riemann-Roch para curvas proyectivas, es decir, variedades proyectivas de dimensión 1. La teoría de curvas proyectivas es particularmente rica, incluyendo una clasificación por género de la curva. El programa de clasificación de variedades proyectivas de dimensiones superiores conduce naturalmente a la construcción de módulos de variedades proyectivas. [1] Los esquemas de Hilbert parametrizan subesquemas cerrados decon polinomio de Hilbert prescrito. Los esquemas de Hilbert, de los cuales los Grassmannianos son casos especiales, también son esquemas proyectivos por derecho propio. La teoría de la invariante geométrica ofrece otro enfoque. Los enfoques clásicos incluyen el espacio Teichmüller y las variedades Chow .
Una teoría particularmente rica, que se remonta a los clásicos, está disponible para variedades proyectivas complejas, es decir, cuando los polinomios que definen a X tienen coeficientes complejos . En términos generales, el principio GAGA dice que la geometría de los espacios (o variedades) analíticos complejos proyectivos es equivalente a la geometría de las variedades complejas proyectivas. Por ejemplo, la teoría de los haces de vectores holomórficos (más generalmente haces analíticos coherentes ) sobre X coincide con la de los haces de vectores algebraicos. El teorema de Chow dice que un subconjunto del espacio proyectivo es el lugar geométrico cero de una familia de funciones holomórficas si y solo si es el lugar geométrico cero de polinomios homogéneos. La combinación de métodos analíticos y algebraicos para variedades proyectivas complejas conduce a áreas como la teoría de Hodge .
Variedad y estructura del esquema
Estructura de variedades
Sea k un campo algebraicamente cerrado. La base de la definición de variedades proyectivas es el espacio proyectivo., que se puede definir de formas diferentes, pero equivalentes:
- como el conjunto de todas las líneas a través del origen en (es decir, todos los subespacios vectoriales unidimensionales de )
- como el conjunto de tuplas , con no todo cero, módulo la relación de equivalencia para cualquier . La clase de equivalencia de tal tupla se denota porEsta clase de equivalencia es el punto general del espacio proyectivo. Los númerosse denominan coordenadas homogéneas del punto.
Una variedad proyectiva es, por definición, una subvariedad cerrada de, donde cerrado se refiere a la topología de Zariski . [2] En general, los subconjuntos cerrados de la topología de Zariski se definen como el locus cero común de una colección finita de funciones polinomiales homogéneas. Dado un polinomio, la condición
no tiene sentido para polinomios arbitrarios, pero solo si f es homogéneo , es decir, los grados de todos los monomios (cuya suma es f ) son iguales. En este caso, la desaparición de
es independiente de la elección de .
Por tanto, las variedades proyectivas surgen de ideales primos homogéneos I dey ambientación
Además, la variedad proyectiva X es una variedad algebraica, lo que significa que está cubierta por subvariedades afines abiertas y satisface el axioma de separación. Por tanto, el estudio local de X (por ejemplo, la singularidad) se reduce al de una variedad afín. La estructura explícita es la siguiente. El espacio proyectivo está cubierto por los gráficos afines abiertos estándar
que a su vez son n -espacios afines con el anillo de coordenadas
Diga i = 0 para la simplicidad de la notación y elimine el superíndice (0). Luego es una subvariedad cerrada de definido por el ideal de generado por
para todos los f en yo . Por lo tanto, X es una variedad algebraica cubierta por ( n +1) gráficos afines abiertos.
Tenga en cuenta que X es el cierre de la variedad afín en . Por el contrario, partiendo de alguna variedad cerrada (afín), el cierre de V en es la variedad proyectiva llamada finalización proyectiva deV. Sidefine V , entonces el ideal definitorio de este cierre es el ideal homogéneo [3] de generado por
para todos los f en yo .
Por ejemplo, si V es una curva afín dada por, digamos, en el plano afín, entonces su finalización proyectiva en el plano proyectivo está dada por
Esquemas proyectivos
Para diversas aplicaciones, es necesario considerar objetos algebro-geométricos más generales que las variedades proyectivas, es decir, esquemas proyectivos. El primer paso hacia los esquemas proyectivos es dotar al espacio proyectivo con una estructura de esquema, refinando de alguna manera la descripción anterior del espacio proyectivo como una variedad algebraica, es decir,es un esquema que es una unión de ( n + 1) copias del espacio n afín k n . De manera más general, [4] el espacio proyectivo sobre un anillo A es la unión de los esquemas afines
de tal manera que las variables coincidan como se esperaba. El conjunto de puntos cerrados de, para campos algebraicamente cerrados k , es entonces el espacio proyectivo en el sentido habitual.
Una construcción equivalente pero simplificada viene dada por la construcción Proj , que es un análogo del espectro de un anillo , denotado "Spec", que define un esquema afín . [5] Por ejemplo, si A es un anillo, entonces
Si R es un cociente depor un ideal homogéneo I , entonces la sobreyección canónica induce la inmersión cerrada
En comparación con las variedades proyectivas, se abandonó la condición de que el ideal yo fuera un ideal primordial. Esto conduce a una noción mucho más flexible: por un lado el espacio topológico puede tener múltiples componentes irreducibles . Por otra parte, puede haber nilpotentes funciones en X .
Subesquemas cerrados de corresponden biyectivamente a los ideales homogéneos I deque están saturados ; es decir,[6] Este hecho puede considerarse como una versión refinada del Nullstellensatz proyectivo .
Podemos dar un análogo sin coordenadas de lo anterior. Es decir, dado un espacio vectorial de dimensión finita V sobre k , dejamos
dónde es el álgebra simétrica de. [7] Es la proyectivización de V ; es decir, se parametriza líneas en V . Hay un mapa sobreyectivo canónico, que se define utilizando el cuadro descrito anteriormente. [8] Un uso importante de la construcción es este (cf., § Dualidad y sistema lineal ). Un divisor D en un proyectivas variedad X corresponde a una línea haz L . Uno luego establece
- ;
se llama el sistema lineal completa de D .
El espacio proyectivo sobre cualquier esquema S puede definirse como un producto de fibra de esquemas
Si es la gavilla retorcida de Serre sobre, dejamos denotar el retroceso de a ; es decir, para el mapa canónico
Un esquema X → S se llama proyectivo sobre S si se factoriza como una inmersión cerrada
seguido de la proyección de S .
Un paquete de líneas (o gavilla invertible) en un esquema X sobre S se dice que es muy amplio en relación con S si hay una inmersión (es decir, una inmersión abierta seguida de una inmersión cerrada)
para algunos n para que retrocesos a . A continuación, un S -Esquema X es proyectivo si y sólo si es apropiada y existe una muy amplia gavilla en X con respecto a S . De hecho, si X es apropiado, entonces una inmersión correspondiente al haz de líneas muy amplio está necesariamente cerrada. Por el contrario, si X es proyectiva, entonces el retroceso debajo la inmersión cerrada de X en un espacio proyectivo es muy amplio. Que "proyectivo" implica "adecuado" es más profundo: el principal teorema de la teoría de la eliminación .
Relación con variedades completas
Por definición, una variedad está completa , si es adecuada sobre k . El criterio valorativo de propiedad expresa la intuición de que en una variedad propia no hay puntos "faltantes".
Existe una estrecha relación entre variedades completas y proyectivas: por un lado, el espacio proyectivo y por tanto cualquier variedad proyectiva es completa. Lo contrario no es cierto en general. Sin emabargo:
- Una curva suave C es proyectiva si y solo si está completa . Esto se prueba identificando C con el conjunto de anillos de valoración discretos del campo de función k ( C ) sobre k . Este conjunto tiene una topología de Zariski natural llamada espacio de Zariski-Riemann .
- Lema de Chow estados que para cualquier variedad completa X , existe una variedad proyectiva Z y un morfismo birracional Z → X . [9] (Además, a través de la normalización , se puede asumir que esta variedad proyectiva es normal).
Algunas propiedades de una variedad proyectiva se derivan de la completitud. Por ejemplo,
para cualquier variedad proyectiva X sobre k . [10] Este hecho es un análogo algebraico del teorema de Liouville (cualquier función holomórfica en una variedad compleja compacta conectada es constante). De hecho, la similitud entre geometría analítica compleja y geometría algebraica en variedades proyectivas complejas va mucho más allá, como se explica a continuación.
Las variedades cuasi-proyectivas son, por definición, aquellas que son subvariedades abiertas de variedades proyectivas. Esta clase de variedades incluye variedades afines . Las variedades afines casi nunca son completas (o proyectivas). De hecho, una subvariedad proyectiva de una variedad afín debe tener dimensión cero. Esto se debe a que solo las constantes son funciones globales regulares en una variedad proyectiva.
Ejemplos e invariantes básicos
Por definición, cualquier ideal homogéneo en un anillo polinomial produce un esquema proyectivo (requerido para ser ideal primo para dar una variedad). En este sentido, abundan los ejemplos de variedades proyectivas. La siguiente lista menciona varias clases de variedades proyectivas que son dignas de mención ya que han sido estudiadas con especial intensidad. La clase importante de variedades proyectivas complejas, es decir, el caso, se analiza más adelante.
El producto de dos espacios proyectivos es proyectivo. De hecho, existe la inmersión explícita (llamada incrustación de Segre )
Como consecuencia, el producto de variedades proyectivas sobre k es nuevamente proyectivo. La incrustación de Plücker exhibe un Grassmannian como variedad proyectiva. Señalar variedades como el cociente del grupo lineal general módulo el subgrupo de matrices triangulares superiores , también son proyectivas, lo cual es un hecho importante en la teoría de grupos algebraicos . [11]
Anillo de coordenadas homogéneo y polinomio de Hilbert
Como el ideal primo P que define una variedad proyectiva X es homogéneo, el anillo de coordenadas homogéneo
es un anillo graduado , es decir, se puede expresar como la suma directa de sus componentes graduados:
Existe un polinomio P tal quepara todo n suficientemente grande ; se llama el polinomio de Hilbert de X . Es un invariante numérico que codifica alguna geometría extrínseca de X . ¡El grado de P es la dimensión r de X y su coeficiente principal multiplicado por r! es el grado de la variedad X . El género aritmético de X es (−1) r ( P (0) - 1) cuando X es suave.
Por ejemplo, el anillo de coordenadas homogéneo de es y su polinomio de Hilbert es ; su género aritmético es cero.
Si el anillo de coordenadas homogéneo R es un dominio integralmente cerrado , entonces se dice que la variedad proyectiva X es proyectivamente normal . Tenga en cuenta que, a diferencia de la normalidad , la normalidad proyectiva depende de R , la incrustación de X en un espacio proyectivo. La normalización de una variedad proyectiva es proyectiva; de hecho, es el Proj del cierre integral de algunas coordenadas homogéneas anillo de X .
La licenciatura
Dejar sea una variedad proyectiva. Hay al menos dos formas equivalentes de definir el grado de X en relación con su incrustación. La primera forma es definirlo como la cardinalidad del conjunto finito
donde d es la dimensión de X y H i son hiperplanos en "posiciones generales". Esta definición corresponde a una idea intuitiva de un título. En efecto, si X es una hipersuperficie, entonces el grado de X es el grado de la homogénea definir polinomio X . Las "posiciones generales" pueden precisarse, por ejemplo, mediante la teoría de la intersección ; se requiere que la intersección sea adecuada y que las multiplicidades de componentes irreducibles sean todas una.
La otra definición, que se menciona en la sección anterior, es que el grado de X es el coeficiente principal del polinomio de Hilbert de X veces (dim X ) !. Geométricamente, esto significa definición que el grado de X es la multiplicidad del vértice del cono sobre afín X . [12]
Dejar Ser subesquemas cerrados de dimensiones puras que se intersecan adecuadamente (están en posición general). Si m i denota la multiplicidad de un componente irreducible Z i en la intersección (es decir, multiplicidad de intersección ), entonces la generalización del teorema de Bézout dice: [13]
La multiplicidad de intersección m i se puede definir como el coeficiente de Z i en el producto de intersecciónen el anillo de Chow de.
En particular, si es una hipersuperficie que no contiene X , entonces
donde Z i son los componentes irreductibles de la intersección de la teoría del esquema de X y H con multiplicidad (longitud del anillo local) m i .
Una variedad proyectiva compleja puede verse como una variedad compleja compacta ; el grado de la variedad (relativo a la incrustación) es entonces el volumen de la variedad como una variedad con respecto a la métrica heredada del espacio proyectivo complejo ambiental . Una variedad proyectiva compleja se puede caracterizar como un minimizador del volumen (en cierto sentido).
El anillo de secciones
Sea X una variedad proyectiva y L un paquete de líneas sobre ella. Entonces el anillo graduado
se llama el anillo de secciones de L . Si L es amplia , entonces Proj de este anillo es X . Además, si X es normal y L es muy amplio, entonceses el cierre integral del anillo de coordenadas homogéneo de X determinado por L ; es decir, así que eso -tirones de nuevo a L . [14]
Para las aplicaciones, es útil permitir divisores (o-divisores) no solo paquetes de líneas; suponiendo que X es normal, el anillo resultante se denomina anillo generalizado de secciones. Sies un divisor canónico en X , luego el anillo generalizado de secciones
se llama el anillo canónica de X . Si el anillo canónica es de generación finita, entonces Proj del anillo se llama el modelo canónico de X . El anillo o modelo canónico se puede utilizar para definir la dimensión de X de Kodaira .
Curvas proyectivas
Los esquemas proyectivos de dimensión uno se denominan curvas proyectivas . Gran parte de la teoría de las curvas proyectivas trata de curvas proyectivas suaves, ya que las singularidades de las curvas se pueden resolver mediante normalización , que consiste en tomar localmente el cierre integral del anillo de funciones regulares. Las curvas proyectivas suaves son isomorfas si y solo si sus campos funcionales son isomorfos. El estudio de extensiones finitas de
o curvas proyectivas equivalentes suaves sobre es una rama importante de la teoría algebraica de números . [15]
Una curva proyectiva suave del género uno se llama curva elíptica . Como consecuencia del teorema de Riemann-Roch , dicha curva se puede incrustar como una subvariedad cerrada en. En general, cualquier curva proyectiva (suave) se puede incrustar en(para una prueba, vea la variedad secante # Ejemplos ). Por el contrario, cualquier curva cerrada suave ende grado tres tiene género uno por la fórmula de género y, por lo tanto, es una curva elíptica.
Una curva completa suave de género mayor o igual a dos se llama curva hiperelíptica si hay un morfismo finito.de grado dos. [dieciséis]
Hiperuperficies proyectivas
Cada subconjunto cerrado irreducible de de la codimensión uno es una hipersuperficie ; es decir, el conjunto cero de algún polinomio irreducible homogéneo. [17]
Variedades abelianas
Otro invariante importante de una variedad proyectiva X es el grupo Picard de X , el conjunto de clases de isomorfismo de la línea paquetes de X . Es isomorfo ay por lo tanto una noción intrínseca (independiente de la incrustación). Por ejemplo, el grupo Picard de es isomorfo a a través del mapa de grados. El núcleo deno es solo un grupo abeliano abstracto, sino que existe una variedad llamada variedad jacobiana de X , Jac ( X ), cuyos puntos igualan a este grupo. El jacobiano de una curva (suave) juega un papel importante en el estudio de la curva. Por ejemplo, el jacobiano de una curva elíptica E es la propia E. Para una curva X del género g , Jac ( X ) tiene dimensión g .
Las variedades, como la variedad jacobiana, que son completas y tienen una estructura de grupo, se conocen como variedades abelianas , en honor a Niels Abel . En marcado contraste con los grupos algebraicos afines como, tales grupos son siempre conmutativos, de ahí el nombre. Además, admiten un amplio haz de líneas y, por tanto, son proyectivas. Por otro lado, un esquema abeliano puede no ser proyectivo. Ejemplos de variedades abelianas son curvas elípticas, variedades jacobianas y superficies K3 .
Proyecciones
Dejar ser un subespacio lineal; es decir,para algunos funcionales lineales linealmente independientes s i . Entonces la proyección de E es el morfismo (bien definido)
La descripción geométrica de este mapa es la siguiente: [18]
- Nosotros vemos por lo que es disjunta de E . Entonces, para cualquier, dónde denota el espacio lineal más pequeño que contiene E y x (llamado la unión de E y x ).
- dónde son las coordenadas homogéneas en
- Para cualquier subesquema cerrado disjunto de E , la restricciónes un morfismo finito . [19]
Las proyecciones se pueden utilizar para reducir la dimensión en la que se inserta una variedad proyectiva, hasta morfismos finitos . Comience con algo de variedad proyectiva Si la proyección desde un punto que no está en X da Es más, es un mapa finito de su imagen. Así, iterando el procedimiento, se ve que hay un mapa finito
Este resultado es el análogo proyectivo del lema de normalización de Noether . (De hecho, produce una prueba geométrica del lema de normalización).
El mismo procedimiento se puede utilizar para mostrar el siguiente resultado un poco más preciso: dada una variedad proyectiva X sobre un campo perfecto, hay un morfismo biracional finito de X a una hipersuperficie H en[20] En particular, si X es normal, entonces es la normalización de H .
Dualidad y sistema lineal
Mientras que un n- espacio proyectivoparametriza las líneas en un espacio n afín , el dual parametriza los hiperplanos en el espacio proyectivo, de la siguiente manera. Corregir un campo k . Por, nos referimos a un n- espacio proyectivo
equipado con la construcción:
- , un hiperplano en
dónde es un punto L depara una extensión de campo L de k y
Para cada L , la construcción es una biyección entre el conjunto de L puntos de y el conjunto de hiperplanos en . Debido a esto, el espacio proyectivo dualse dice que es el espacio de módulos de hiperplanos en.
Una línea en se llama lápiz : es una familia de hiperplanos en parametrizado por .
Si V es un espacio vectorial de dimensión finita sobre k , entonces, por la misma razón que antes, es el espacio de hiperplanos en . Un caso importante es cuando V consta de secciones de un paquete de líneas. Es decir, sea X una variedad algebraica, L un paquete de líneas en X yun subespacio vectorial de dimensión positiva finita. Luego hay un mapa: [21]
determinado por el sistema lineal V , donde B , llamado el lugar de la base , es la intersección de los divisores de cero de secciones distintas de cero en V (ver Sistema lineal de divisores # Un mapa determinado por un sistema lineal para la construcción del mapa).
Cohomología de poleas coherentes
Sea X un esquema proyectivo sobre un campo (o, más generalmente, sobre un anillo noetheriano A ). Cohomología de poleas coherentes en X satisface los siguientes teoremas importantes debidos a Serre:
- es un espacio de vectores k de dimensión finita para cualquier p .
- Existe un entero (Dependiendo de ; ver también la regularidad de Castelnuovo-Mumford ) de tal manera que para todos y p > 0, donde es la torsión con el poder de un haz de líneas muy amplio
Estos resultados están probados reduciendo al caso usando el isomorfismo
donde en el lado derecho se ve como un haz en el espacio proyectivo por extensión por cero. [22] El resultado sigue luego de un cálculo directo para n cualquier entero, y para arbitrariose reduce a este caso sin mucha dificultad. [23]
Como corolario de 1. anterior, si f es un morfismo proyectivo de un esquema noetheriano a un anillo noetheriano, entonces la imagen directa superiores coherente. El mismo resultado es válido para los morfismos propios f , como se puede demostrar con la ayuda del lema de Chow .
Los grupos de cohomología de gavilla H i en un espacio topológico noetheriano se desvanecen por i estrictamente mayor que la dimensión del espacio. Así, la cantidad, llamada característica de Euler de,
es un entero bien definido (para X proyectivo). Entonces uno puede mostrarpara algún polinomio P sobre números racionales. [24] Aplicación de este procedimiento a la estructura de la gavilla., Se recupera el polinomio de Hilbert de X . En particular, si X es irreducible y tiene dimensión r , el género aritmético de X viene dado por
que es manifiestamente intrínseco; es decir, independiente de la incrustación.
El género aritmético de una hipersuperficie de grado d es en . En particular, una curva suave de grado d en tiene género aritmético . Esta es la fórmula del género .
Variedades proyectivas suaves
Sea X una variedad proyectiva suave donde todos sus componentes irreductibles tienen dimensión n . En esta situación, el haz canónico ω X , definido como el haz de diferenciales de Kähler de grado superior (es decir, formas n algebraicas ), es un haz de líneas.
Dualidad serre
La dualidad de Serre establece que para cualquier gavilla localmente libreen X ,
donde el superíndice primo se refiere al espacio dual y es la doble gavilla de . Una generalización a esquemas proyectivos, pero no necesariamente suaves, se conoce como dualidad Verdier .
Teorema de Riemann-Roch
Para una curva (proyectiva suave) X , H 2 y superior se desvanecen por razones dimensionales y el espacio de las secciones globales de la estructura es unidimensional. Así, el género aritmético de X es la dimensión de. Por definición, el género geométrico de X es la dimensión de H 0 ( X , ω X ). La dualidad de Serre implica así que el género aritmético y el género geométrico coinciden. Ellos simplemente se llama el género de la X .
La dualidad de Serre también es un ingrediente clave en la demostración del teorema de Riemann-Roch . Dado que X es suave, hay un isomorfismo de grupos
desde el grupo de divisores (Weil) módulo divisores principales hasta el grupo de clases de isomorfismos de haces de líneas. Un divisor correspondiente a ω X se llama el divisor canónica y se representa por K . Sea l ( D ) la dimensión de. Entonces, el teorema de Riemann-Roch establece: si g es un género de X ,
para cualquier divisor D en X . Por la dualidad de Serre, esto es lo mismo que:
que se puede probar fácilmente. [25] Una generalización del teorema de Riemann-Roch a una dimensión superior es el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch , así como el teorema de gran alcance de Grothendieck-Riemann-Roch .
Esquemas de Hilbert
Esquemas de Hilbert parametrizar todas las subvariedades cerrados de un esquema proyectiva X en el sentido de que los puntos (en el sentido funtorial) de H corresponden a los subsistemas cerrados de X . Como tal, el esquema de Hilbert es un ejemplo de un espacio de módulos , es decir, un objeto geométrico cuyos puntos parametrizan otros objetos geométricos. Más precisamente, el esquema de Hilbert parametriza subvariedades cerrados cuyo polinomio de Hilbert es igual a un polinomio prescrito P . [26] Es un teorema profundo de Grothendieck que existe un esquema [27] sobre k tal que, para cualquier k -esquema T , hay una biyección
El subesquema cerrado de que corresponde al mapa de identidad se llama la familia universal .
Para , el esquema de Hilbert se llama Grassmannian de r -planes eny, si X es un esquema proyectivo,se llama el esquema de Fano de r -planes en X . [28]
Variedades proyectivas complejas
En esta sección, todas las variedades algebraicas son variedades algebraicas complejas . Una característica clave de la teoría de variedades proyectivas complejas es la combinación de métodos algebraicos y analíticos. La transición entre estas teorías es proporcionada por el siguiente enlace: dado que cualquier polinomio complejo es también una función holomórfica, cualquier variedad compleja X produce un espacio analítico complejo , denotado. Además, las propiedades geométricas de X se reflejan en las de. Por ejemplo, este último es una variedad compleja si y solo si X es suave; es compacto si y solo si X es apropiado sobre.
Relación con las variedades complejas de Kähler
El espacio proyectivo complejo es una variedad de Kähler . Esto implica que, para cualquier variedad algebraica proyectiva X ,es un colector compacto de Kähler. Lo contrario no es cierto en general, pero el teorema de incrustación de Kodaira proporciona un criterio para que una variedad de Kähler sea proyectiva.
En dimensiones reducidas, se obtienen los siguientes resultados:
- (Riemann) Una superficie compacta de Riemann (es decir, una variedad compleja compacta de dimensión uno) es una variedad proyectiva. Según el teorema de Torelli , está determinado únicamente por su jacobiano.
- (Chow-Kodaira) Una variedad compleja compacta de dimensión dos con dos funciones meromórficas algebraicamente independientes es una variedad proyectiva. [29]
Teorema de GAGA y Chow
El teorema de Chow proporciona una manera sorprendente de ir en sentido contrario, de la geometría analítica a la algebraica. Afirma que toda subvariedad analítica de un espacio proyectivo complejo es algebraica. Se puede interpretar que el teorema dice que una función holomórfica que satisface cierta condición de crecimiento es necesariamente algebraica: "proyectiva" proporciona esta condición de crecimiento. Se puede deducir del teorema lo siguiente:
- Las funciones meromórficas en el espacio proyectivo complejo son racionales.
- Si un mapa algebraico entre variedades algebraicas es un isomorfismo analítico , entonces es un isomorfismo (algebraico). (Esta parte es un hecho básico en el análisis complejo). En particular, el teorema de Chow implica que un mapa holomórfico entre variedades proyectivas es algebraico. (considere el gráfico de dicho mapa).
- Cada paquete de vectores holomórficos en una variedad proyectiva es inducido por un paquete de vectores algebraicos único. [30]
- Cada paquete de líneas holomórficas en una variedad proyectiva es un paquete de líneas de un divisor. [31]
El teorema de Chow se puede mostrar mediante el principio GAGA de Serre . Su principal teorema establece:
- Sea X un esquema proyectivo sobre . Entonces, el funtor que asocia las gavillas coherentes en X a las gavillas coherentes en el correspondiente espacio analítico complejo X an es una equivalencia de categorías. Además, los mapas naturales
- son isomorfismos para todo iy todas las poleas coherentes en X . [32]
Tori complejo vs.variedades abelianas complejas
La variedad compleja asociada a una variedad abeliana A sobrees un grupo de Lie compacto y complejo . Se puede demostrar que son de la forma
y también se conocen como toros complejos . Aquí, g es la dimensión del toro y L es una celosía (también conocida como celosía de período ).
De acuerdo con el teorema de uniformización ya mencionado anteriormente, cualquier toro de dimensión 1 surge de una variedad abeliana de dimensión 1, es decir, de una curva elíptica . De hecho, la función elíptica de Weierstrass adjunto a L satisface una cierta ecuación diferencial y como consecuencia define una inmersión cerrada: [33]
Hay un análogo p -ádico, el teorema de uniformización p-ádico .
Para dimensiones más altas, las nociones de variedades abelianas complejas y toros complejos difieren: solo toros complejos polarizados provienen de variedades abelianas.
Kodaira desapareciendo
El teorema fundamental de desaparición de Kodaira establece que para un conjunto de líneas amplioen una variedad proyectiva suave X sobre un campo de característica cero,
para i > 0, o, de manera equivalente, por dualidad de Serrepara i < n . [34] La primera prueba de este teorema utilizó métodos analíticos de la geometría de Kähler, pero más tarde se encontró una prueba puramente algebraica. La desaparición de Kodaira en general falla en una variedad proyectiva suave en característica positiva. El teorema de Kodaira es uno de varios teoremas de desaparición, que dan criterios para que desaparezcan las cohomologías de gavillas superiores. Dado que la característica de Euler de una gavilla (ver arriba) es a menudo más manejable que los grupos de cohomología individuales, esto a menudo tiene consecuencias importantes sobre la geometría de las variedades proyectivas. [35]
Nociones relacionadas
- Variedad multiproyectiva
- Variedad proyectiva ponderada , una subvariedad cerrada de un espacio proyectivo ponderado [36]
Ver también
- Geometría algebraica de espacios proyectivos
- Esquema de Hilbert
- Teorema del hiperplano de Lefschetz
- Programa de modelo mínimo
Notas
- ↑ Kollár y Moduli , Ch I.
- ^ Shafarevich, Igor R. (1994), Geometría algebraica básica 1: Variedades en el espacio proyectivo , Springer
- ^ Este ideal homogénea a veces se llama la homogeneización de I .
- ^ Mumford 1999 , pág. 82
- ^ Hartshorne 1977 , sección II.5
- ^ Mumford 1999 , pág. 111
- ^ Esta definición difiere de Eisenbud-Harris 2000 , III.2.3 pero es consistente con las otras partes de Wikipedia.
- ^ cf. la demostración de Hartshorne 1977 , Ch II, Teorema 7.1
- ↑ Grothendieck y Dieudonné 1961 , 5.6
- ^ Hartshorne 1977 , Capítulo II. Ejercicio 4.5
- ^ Humphreys, James (1981), Grupos algebraicos lineales , Springer, Teorema 21.3
- ^ Hartshorne , cap. V, ejercicio 3.4. (mi).
- ^ Fulton 1998 , Proposición 8.4.
- ^ Hartshorne , cap. II, Ejercicio 5.14. (a)
- ^ Rosen, Michael (2002), teoría de números en campos de función , Springer
- ^ Hartshorne, 1977 y capítulo IV, ejercicio 1.7.
- ^ Hartshorne 1977 , Ch I, Ejercicio 2.8; esto se debe a que el anillo de coordenadas homogéneo dees un dominio de factorización único y en una UFD todo ideal primo de altura 1 es principal.
- ^ Shafarevich 1994 , cap. I. § 4.4. Ejemplo 1.
- ^ Mumford , cap. II, § 7. Proposición 6.
- ^ Hartshorne , cap. Yo, ejercicio 4.9.
- ↑ Fulton , § 4.4.
- ↑ Esto no es difícil :( Hartshorne 1977 , Ch III. Lema 2.10) considere una resolución de flash de y su extensión cero a todo el espacio proyectivo.
- ^ Hartshorne 1977 , Capítulo III. Teorema 5.2
- ^ Hartshorne 1977 , Capítulo III. Ejercicio 5.2
- ^ Hartshorne 1977 , Capítulo IV. Teorema 1.3
- ↑ Kollár 1996 , Ch I 1.4
- ^ Para que la construcción funcione, es necesario tener en cuenta una no variedad.
- ^ Eisenbud y Harris 2000 , VI 2.2
- ^ Hartshorne 1977 , Apéndice B. Teorema 3.4.
- ↑ Griffiths-Adams , IV. 1. 10. Corolario H
- ↑ Griffiths-Adams , IV. 1. 10. Corolario I
- ^ Hartshorne 1977 , Apéndice B. Teorema 2.1
- ^ Mumford 1970 , pág. 36
- ^ Hartshorne 1977 , Capítulo III. Observación 7.15.
- ^ Esnault, Hélène; Viehweg, Eckart (1992), Conferencias sobre teoremas que desaparecen , Birkhäuser
- ^ Dolgachev, Igor (1982), "Variedades proyectivas ponderadas", Acciones grupales y campos vectoriales (Vancouver, BC, 1981) , Lecture Notes in Math., 956 , Berlín: Springer, págs. 34-71, CiteSeerX 10.1.1.169.5185 , doi : 10.1007 / BFb0101508 , ISBN 978-3-540-11946-3, MR 0704986
Referencias
- Eisenbud, David ; Harris, Joe (2000), La geometría de los esquemas
- William Fulton. (1998), Teoría de la intersección , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Folge., 2 (2ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4, MR 1644323
- P. Griffiths y J. Adams, Temas de geometría algebraica y analítica , Princeton University Press, Princeton, Nueva Jersey, 1974.
- Hartshorne, Robin (1977), Geometría Algebraica , Textos de Posgrado en Matemáticas , 52 , Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
- Huybrechts, Daniel (2005). Geometría compleja: una introducción . Saltador. ISBN 978-3-540-21290-4.
- Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1961). "Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 8 . doi : 10.1007 / bf02699291 . Señor 0217084 .
- Kollár, János , Libro sobre módulos de superficies
- Kollár, János (1996), Curvas racionales sobre variedades algebraicas
- Mumford, David (1970), variedades abelianas
- Mumford, David (1995), Geometría algebraica I: Variedades proyectivas complejas
- Mumford, David (1999), El libro rojo de variedades y esquemas: incluye las conferencias de Michigan (1974) sobre curvas y sus jacobianos , Lecture Notes in Mathematics, 1358 (2a ed.), Springer-Verlag , doi : 10.1007 / b62130 , ISBN 978-3540632931
- "Geometría algebraica II" de Mumfords, en coautoría con Tadao Oda : disponible en [1]
- Igor Shafarevich (1995). Geometría algebraica básica I: Variedades en el espacio proyectivo (2ª ed.). Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-54812-8.
- R. Vakil, Fundamentos de la geometría algebraica
enlaces externos
- El esquema de Hilbert por Charles Siegel - una entrada de blog
- Variedades proyectivas Cap. 1