En matemáticas , el conmutador da una indicación de hasta qué punto una determinada operación binaria deja de ser conmutativa . Hay diferentes definiciones utilizadas en la teoría de grupos y la teoría de anillos .
Este elemento es igual a la identidad del grupo si y solo si g y h conmutan (de la definición gh = hg [ g , h ] , siendo [ g , h ] igual a la identidad si y solo si gh = hg ).
El conjunto de todos los conmutadores de un grupo no está en general cerrado bajo la operación de grupo, pero el subgrupo de G generado por todos los conmutadores está cerrado y se denomina grupo derivado o subgrupo de conmutador de G. Los conmutadores se utilizan para definir grupos nilpotentes y solubles y el grupo de cociente abeliano más grande .
La definición de conmutador anterior se utiliza a lo largo de este artículo, pero muchos otros teóricos de grupos definen el conmutador como
Las identidades de los conmutadores son una herramienta importante en la teoría de grupos . [3] La expresión a x denota el conjugado de a por x , definido como x −1 ax .
La identidad (5) también se conoce como la identidad Hall-Witt , en honor a Philip Hall y Ernst Witt . Es un análogo de teoría de grupo de la identidad de Jacobi para el conmutador de teoría de anillo (consulte la siguiente sección).