Clase conjugada

En teoría de grupos, clase de equivalencia bajo la relación de conjugación.

Dos gráficos de Cayley de grupos diédricos con clases de conjugación que se distinguen por el color.

En matemáticas , especialmente en teoría de grupos , dos elementos y de un grupo se conjugan si hay un elemento en el grupo tal que se trata de una relación de equivalencia cuyas clases de equivalencia se denominan clases de conjugación .${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle g}$${\displaystyle b=g^{-1}ag.}$

Los miembros de la misma clase de conjugación no se pueden distinguir utilizando solo la estructura de grupo y, por lo tanto, comparten muchas propiedades. El estudio de clases de conjugación de grupos no abelianos es fundamental para el estudio de su estructura. ^{[1] [2]} Para un grupo abeliano , cada clase de conjugación es un conjunto que contiene un elemento ( conjunto singleton ).

Las funciones que son constantes para miembros de la misma clase de conjugación se denominan funciones de clase .

Definición

Sea un grupo. Dos elementos son conjugados , si existe un elemento tal que en cuyo caso se llama conjugado de y se llama conjugado de${\displaystyle G}$${\displaystyle a,b\in G}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle gag^{-1}=b,}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b.}$

En el caso del grupo grupo lineal general de matrices invertibles , la relación de conjugación se llama similitud de matriz .${\displaystyle \operatorname {GL} (n)}$

Se puede demostrar fácilmente que la conjugación es una relación de equivalencia y, por lo tanto, se divide en clases de equivalencia. (Esto significa que cada elemento del grupo pertenece precisamente a una clase de conjugación, y las clases y son iguales si y solo si y son conjugadas y disjuntas en caso contrario). La clase de equivalencia que contiene el elemento es${\displaystyle G}$${\displaystyle \operatorname {Cl} (a)}$${\displaystyle \operatorname {Cl} (b)}$ ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a\in G}$

$${\displaystyle \operatorname {Cl} (a)=\left\{gag^{-1}:g\in G\right\}}$$

y se llama la clase de conjugación de The${\displaystyle a.}$class number ofes el número de clases de conjugación distintas (no equivalentes). Todos los elementos que pertenecen a la misma clase de conjugación tienen el mismoorden.${\displaystyle G}$

Se puede hacer referencia a las clases conjugadas describiéndolas, o más brevemente mediante abreviaturas como "6A", que significa "una cierta clase de conjugación de elementos de orden 6", y "6B" sería una clase de conjugación diferente de elementos de orden 6; la clase de conjugación 1A es la clase de conjugación de la identidad. En algunos casos, las clases de conjugación se pueden describir de manera uniforme; por ejemplo, en el grupo simétrico se pueden describir por estructura de ciclo.

Ejemplos de

El grupo simétrico que consta de las 6 permutaciones de tres elementos, tiene tres clases de conjugación: S 3 , {\ Displaystyle S_ {3},}

1. ningún cambio ${\displaystyle (abc\to abc)}$
2. transponiendo dos${\displaystyle (abc\to acb,abc\to bac,abc\to cba)}$
3. una permutación cíclica de los tres${\displaystyle (abc\to bca,abc\to cab).}$

Estas tres clases también corresponden a la clasificación de las isometrías de un triángulo equilátero .

Tabla que muestra todos los pares con (comparar lista numerada ) . Cada fila contiene todos los elementos de la clase de conjugación de y cada columna contiene todos los elementos de${\displaystyle bab^{-1}}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle a,b\in S_{4}}$ ${\displaystyle a,}$${\displaystyle S_{4}.}$

El grupo simétrico que S 4 , {\displaystyle S_{4},} consta de las 24 permutaciones de cuatro elementos, tiene cinco clases de conjugación, enumeradas con sus estructuras y órdenes de ciclo:

(1) ₄     sin cambios (1 elemento: {(1, 2, 3, 4)}). La única fila que contiene esta clase de conjugación se muestra como una fila de círculos negros en la tabla adyacente.

(2)       intercambiando dos (6 elementos: {(1, 2, 4, 3), (1, 4, 3, 2), (1, 3, 2, 4), (4, 2, 3, 1), (3, 2, 1, 4), (2, 1, 3, 4)}). Las 6 filas que contienen esta clase de conjugación están resaltadas en verde en la tabla adyacente.

(3)       una permutación cíclica de tres (8 elementos: {(1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (3, 2, 4, 1), (4, 2, 1, 3), (4, 1, 3, 2), (2, 4, 3, 1), (3, 1, 2, 4), (2, 3, 1, 4)}). Las 8 filas que contienen esta clase de conjugación se muestran con letra normal (sin negrita ni resaltado en color) en la tabla adyacente.

(4)       una permutación cíclica de los cuatro (6 elementos: {(2, 3, 4, 1), (2, 4, 1, 3), (3, 1, 4, 2), (3, 4, 2 , 1), (4, 1, 2, 3), (4, 3, 1, 2)}). Las 6 filas que contienen esta clase de conjugación están resaltadas en naranja en la tabla adyacente.

(2) (2)   intercambiando dos, y también los otros dos (3 elementos: {(2, 1, 4, 3), (4, 3, 2, 1), (3, 4, 1, 2)}) . Las 3 filas que contienen esta clase de conjugación se muestran con entradas en negrita en la tabla adyacente.

Las rotaciones adecuadas del cubo , que se pueden caracterizar por permutaciones de las diagonales del cuerpo, también se describen mediante la conjugación en${\displaystyle S_{4}.}$

En general, el número de clases de conjugación en el grupo simétrico${\displaystyle S_{n}}$ es igual al número de particiones enteras de Esto se debe a que cada clase de conjugación corresponde exactamente a una partición de en ciclos , hasta la permutación de los elementos de${\displaystyle n.}$${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}.}$

En general, el grupo euclidiano se puede estudiar mediante la conjugación de isometrías en el espacio euclidiano .

Propiedades

• El elemento de identidad es siempre el único elemento de su clase, es decir ${\displaystyle \operatorname {Cl} (e)=\{e\}.}$
• Si es abeliano, entonces para todos , es decir, para todos (y lo contrario también es cierto: si todas las clases de conjugación son singletons, entonces es abeliano).${\displaystyle G}$${\displaystyle gag^{-1}=a}$${\displaystyle a,g\in G}$${\displaystyle \operatorname {Cl} (a)=\{a\}}$${\displaystyle a\in G}$${\displaystyle G}$
• Si dos elementos pertenecen a la misma clase de conjugación (es decir, si son conjugados), entonces tienen el mismo orden . De manera más general, cada declaración sobre se puede traducir en una declaración sobre porque el mapa es un automorfismo de. Consulte la propiedad siguiente para ver un ejemplo.${\displaystyle a,b\in G}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b=gag^{-1},}$${\displaystyle \varphi (x)=gxg^{-1}}$${\displaystyle G.}$
• Si y son conjugados, entonces también lo son sus poderes y (Prueba: si entonces ) Por lo tanto, tomar ^los poderes da un mapa de clases de conjugación, y uno puede considerar qué clases de conjugación están en su preimagen. Por ejemplo, en el grupo simétrico, el cuadrado de un elemento de tipo (3) (2) (un ciclo de 3 y un ciclo de 2) es un elemento de tipo (3), por lo tanto, una de las clases de encendido de (3) es la clase (3) (2) (donde es una clase de encendido ).${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a^{k}}$${\displaystyle b^{k}.}$${\displaystyle a=gbg^{-1}}$${\displaystyle a^{k}=\left(gbg^{-1}\right)\left(gbg^{-1}\right)\cdots \left(gbg^{-1}\right)=gb^{k}g^{-1}.}$${\displaystyle k}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a^{k}}$
• Un elemento se encuentra en el centro de si y solo si su clase de conjugación tiene solo un elemento, él mismo. De manera más general, si denota el centralizador de , es decir, el subgrupo que consta de todos los elementos, de modo que el índice es igual al número de elementos de la clase de conjugación de (según el teorema del estabilizador de órbita ).${\displaystyle a\in G}$ ${\displaystyle \operatorname {Z} (G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(a)}$${\displaystyle a\in G,}$${\displaystyle g}$${\displaystyle ga=ag,}$ ${\displaystyle \left[G:\operatorname {C} _{G}\left(a\right)\right]}$${\displaystyle a}$
• Tome y deje que sean los números enteros distintos que aparecen como longitudes de ciclos en el tipo de ciclo de (incluidos los ciclos 1). Dejado ser el número de ciclos de longitud en para cada (de modo que ). Entonces el número de conjugados de es: ^[1]${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$${\displaystyle m_{1},m_{2},\ldots ,m_{s}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle i=1,2,\ldots ,s}$${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{s}k_{i}m_{i}=n}$${\displaystyle \sigma }$

$${\displaystyle {\frac {n!}{(k_{1}!m_{1}^{k_{1}})(k_{2}!m_{2}^{k_{2}})\cdots (k_{s}!m_{s}^{k_{s}})}}.}$$

Conjugado como acción grupal

Para dos elementos cualesquiera, deje${\displaystyle g,x\in G,}$

$${\displaystyle g\cdot x:=gxg^{-1}.}$$

Esto define una acción de grupo de on Las órbitas de esta acción son las clases de conjugación, y el estabilizador de un elemento dado es el centralizador del elemento . ^[3]${\displaystyle G}$${\displaystyle G.}$

De manera similar, podemos definir una acción de grupo de en el conjunto de todos los subconjuntos de escribiendo${\displaystyle G}$${\displaystyle G,}$

$${\displaystyle g\cdot S:=gSg^{-1},}$$

o en el conjunto de los subgrupos de ${\displaystyle G.}$

Ecuación de clase conjugada

Si es un grupo finito , entonces, para cualquier elemento de grupo, los elementos de la clase de conjugación de están en correspondencia uno a uno con las clases laterales del centralizador.Esto puede verse observando que dos elementos cualesquiera y que pertenecen a la misma clase lateral (y por tanto , para algunos en el centralizador ) dan lugar al mismo elemento al conjugar : ${\displaystyle G}$${\displaystyle a,}$${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(a).}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle b=cz}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(a)}$${\displaystyle a}$

$${\displaystyle bab^{-1}=cza(cz)^{-1}=czaz^{-1}c^{-1}=cazz^{-1}c^{-1}=cac^{-1}.}$$

Eso también se puede ver en el teorema del estabilizador de órbita , cuando se considera que el grupo actúa sobre sí mismo a través de la conjugación, de modo que las órbitas son clases de conjugación y los subgrupos de estabilizadores son centralizadores. Lo contrario también se mantiene.

Por tanto, el número de elementos de la clase de conjugación de es el índice del centralizador en  ; por tanto, el tamaño de cada clase de conjugación divide el orden del grupo.${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \left[G:\operatorname {C} _{G}(a)\right]}$${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(a)}$${\displaystyle G}$

Además, si elegimos un solo elemento representativo de cada clase de conjugación, inferimos de la disyunción de las clases de conjugación que dónde está el centralizador del elemento. Observando que cada elemento del centro forma una clase de conjugación que contiene solo a sí mismo da lugar a la clase ecuación : ^[4]${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle |G|=\sum _{i}\left[G:\operatorname {C} _{G}\left(x_{i}\right)\right],}$${\displaystyle \operatorname {C} _{G}\left(x_{i}\right)}$${\displaystyle x_{i}.}$${\displaystyle \operatorname {Z} (G)}$

$${\displaystyle |G|=|\operatorname {Z} (G)|+\sum _{i}\left[G:\operatorname {C} _{G}\left(x_{i}\right)\right],}$$

donde la suma está sobre un elemento representativo de cada clase de conjugación que no está en el centro.

El conocimiento de los divisores del orden de grupo a menudo se puede utilizar para obtener información sobre el orden del centro o de las clases de conjugación.${\displaystyle |G|}$

Ejemplo

Considere un finita -group (es decir, un grupo con el fin , donde es un número primo y ). Vamos a demostrar que todo grupo finito tiene un centro no trivial . p {\displaystyle p} ${\displaystyle G}$${\displaystyle p^{n},}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle p}$

Dado que el orden de cualquier clase de conjugación de debe dividir el orden de se deduce que cada clase de conjugación que no está en el centro también tiene un orden de algún poder de dónde Pero entonces la ecuación de clase requiere que De esto vemos que debe dividirse de manera${\displaystyle G}$${\displaystyle G,}$${\displaystyle H_{i}}$${\displaystyle p^{k_{i}},}$${\displaystyle 0<k_{i}<n.}$${\displaystyle |G|=p^{n}=|\operatorname {Z} (G)|+\sum _{i}p^{k_{i}}.}$${\displaystyle p}$${\displaystyle |\operatorname {Z} (G)|,}$${\displaystyle |\operatorname {Z} (G)|>1.}$

En particular, cuando then es un grupo abeliano, ya que si es cualquier elemento del grupo, entonces es de orden o si es de orden, entonces es isomorfo al grupo cíclico de orden, por lo tanto, abeliano. Por otro lado, si cualquier elemento no trivial en es del orden de ahí por la anterior conclusión continuación o Tan sólo hay que considerar el caso cuando a continuación, hay un elemento de lo que no está en el centro de Tenga en cuenta que es de orden por lo que la subgrupo de elementos generados por contiene y, por lo tanto, es un subconjunto adecuado de porque${\displaystyle n=2,}$${\displaystyle G}$${\displaystyle a\in G}$${\displaystyle a}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p^{2},}$${\displaystyle a}$${\displaystyle p^{2},}$${\displaystyle G}$${\displaystyle p^{2},}$${\displaystyle G}$${\displaystyle p,}$${\displaystyle |\operatorname {Z} (G)|>1,}$${\displaystyle |\operatorname {Z} (G)|=p>1}$${\displaystyle p^{2}.}$${\displaystyle |\operatorname {Z} (G)|=p>1,}$${\displaystyle b}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G.}$${\displaystyle b}$${\displaystyle p,}$${\displaystyle G}$${\displaystyle b}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(b),}$${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(b)}$Incluye todos los elementos de este subgrupo y el centro que no contiene pero al menos elementos. Por lo tanto, el orden de es estrictamente mayor que, por lo tanto, es un elemento del centro de Por lo tanto, es abeliano y, de hecho, isomorfo al producto directo de dos grupos cíclicos, cada uno de ellos de orden.${\displaystyle b}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(b)}$${\displaystyle p,}$${\displaystyle \left|\operatorname {C} _{G}(b)\right|=p^{2},}$${\displaystyle b}$${\displaystyle G.}$${\displaystyle G}$${\displaystyle p.}$

Conjugado de subgrupos y subconjuntos generales

De manera más general, dado cualquier subconjunto ( no necesariamente un subgrupo), defina un subconjunto al que se conjugará si existe alguno tal que Sea el conjunto de todos los subconjuntos tal que se conjugue a${\displaystyle S\subseteq G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T\subseteq G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle T=gSg^{-1}.}$${\displaystyle \operatorname {Cl} (S)}$${\displaystyle T\subseteq G}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S.}$

Un teorema de uso frecuente es que, dado cualquier subconjunto, el índice de (el normalizador de ) es igual al orden de :${\displaystyle S\subseteq G,}$${\displaystyle \operatorname {N} (S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \operatorname {Cl} (S)}$

$${\displaystyle |\operatorname {Cl} (S)|=[G:N(S)].}$$

Esto se sigue ya que, si entonces si y solo si en otras palabras, si y solo si están en la misma clase lateral de${\displaystyle g,h\in G,}$${\displaystyle gSg^{-1}=hSh^{-1}}$${\displaystyle g^{-1}h\in \operatorname {N} (S),}$${\displaystyle g{\text{ and }}h}$${\displaystyle \operatorname {N} (S).}$

Al usar esta fórmula, se generaliza la dada anteriormente para el número de elementos en una clase de conjugación. ${\displaystyle S=\{a\},}$

Lo anterior es particularmente útil cuando se habla de subgrupos de Los subgrupos se pueden dividir en clases de conjugación, con dos subgrupos pertenecientes a la misma clase si y solo si son conjugados. Los subgrupos conjugados son isomorfos , pero los subgrupos isomorfos no necesitan ser conjugados. Por ejemplo, un grupo abeliano puede tener dos subgrupos diferentes que son isomorfos, pero nunca se conjugan.${\displaystyle G.}$

Interpretación geométrica

Las clases conjugadas en el grupo fundamental de un espacio topológico conectado por caminos se pueden considerar como clases de equivalencia de bucles libres bajo homotopía libre.

Clase conjugada y representaciones irreductibles en grupo finito

En cualquier grupo finito , el número de representaciones irreductibles distintas (no isomórficas) sobre los números complejos es precisamente el número de clases de conjugación.

Ver también

• Conjugación topológica
• FC-group  - grupo en matemáticas de teoría de grupos
• Subgrupo cerrado conjugado

Notas

1. Dummit, David S .; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3ª ed.). John Wiley e hijos . ISBN 0-471-43334-9.
2. Lang, Serge (2002). Álgebra . Textos de Posgrado en Matemáticas . Springer . ISBN 0-387-95385-X.
3. Grillet (2007), p. 56
4. Grillet (2007), p. 57

Referencias

• Grillet, Pierre Antoine (2007). Álgebra abstracta . Textos de posgrado en matemáticas. 242 (2 ed.). Saltador. ISBN 978-0-387-71567-4.

enlaces externos

• "Elementos conjugados" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]