A veces se la llama serie de Grandi , en honor al matemático, filósofo y sacerdote italiano Guido Grandi , quien dio un tratamiento memorable de la serie en 1703. Es una serie divergente , lo que significa que carece de una suma en el sentido habitual. En cambio, su suma Cesàro es 1/2.
Por lo tanto, al aplicar paréntesis a la serie de Grandi de diferentes maneras, se puede obtener 0 o 1 como "valor". (Las variaciones de esta idea, llamadas la estafa de Eilenberg-Mazur , a veces se utilizan en la teoría de nudos y el álgebra ).
Tratando la serie de Grandi como una serie geométrica divergente y usando los mismos métodos algebraicos que evalúan series geométricas convergentes para obtener un tercer valor:
resultando en S = 1 / 2 . La misma conclusión resulta de calcular − S , restar el resultado de S y resolver 2 S = 1. [1]
Las manipulaciones anteriores no consideran qué significa realmente la suma de una serie y cómo se pueden aplicar dichos métodos algebraicos a series geométricas divergentes . Aun así, en la medida en que es importante poder poner entre paréntesis series a voluntad, y que es más importante poder realizar operaciones aritméticas con ellas, se puede llegar a dos conclusiones:
De hecho, ambas declaraciones se pueden hacer precisas y formalmente probadas, pero solo usando conceptos matemáticos bien definidos que surgieron en el siglo XIX. Después de la introducción del cálculo en Europa a fines del siglo XVII , pero antes del advenimiento del rigor moderno , la tensión entre estas respuestas alimentó lo que se ha caracterizado como una disputa "interminable" y "violenta" entre matemáticos . [3] [4]