En matemáticas , la estafa de Eilenberg-Mazur , llamada así por Samuel Eilenberg y Barry Mazur , es un método de prueba que involucra propiedades paradójicas de sumas infinitas. En topología geométrica fue introducido por Mazur ( 1959 , 1961 ) y a menudo se le llama la estafa de Mazur . En álgebra fue introducido por Samuel Eilenberg y se conoce como la estafa de Eilenberg o el telescopio de Eilenberg (ver suma telescópica ).
La estafa de Eilenberg-Mazur es similar a la siguiente "prueba" de broma bien conocida de que 1 = 0:
- 1 = 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + ... = 1 - 1 + 1 - 1 + ... = (1 - 1) + (1 - 1) + ... = 0
Esta "prueba" no es válida como afirmación sobre números reales porque la serie de Grandi 1 - 1 + 1 - 1 + ... no converge , pero el argumento análogo se puede usar en algunos contextos donde hay algún tipo de "adición". definido en algunos objetos para los cuales las sumas infinitas tienen sentido, para mostrar que si A + B = 0 entonces A = B = 0.
Estafa de Mazur
En topología geométrica, la suma utilizada en la estafa suele ser la suma conectada de nudos o múltiples .
Ejemplo ( Rolfsen 1990 , capítulo 4B): Una aplicación típica de la estafa de Mazur en topología geométrica es la prueba de que la suma de dos nudos no triviales A y B no es trivial. Para los nudos, es posible tomar sumas infinitas haciendo que los nudos sean cada vez más pequeños, por lo que si A + B es trivial, entonces
entonces A es trivial (y B por un argumento similar). La suma infinita de nudos suele ser un nudo salvaje , no un nudo manso . Ver ( Poénaru 2007 ) para más ejemplos geométricos.
Ejemplo : Los n- colectores orientados tienen una operación de suma dada por suma conectada, con 0 la n -esfera. Si A + B es la n -esfera, entonces A + B + A + B + ... es el espacio euclidiano, por lo que la estafa de Mazur muestra que la suma conectada de A y el espacio euclidiano es el espacio euclidiano, lo que muestra que A es el 1 compactación de puntos del espacio euclidiano y, por lo tanto, A es homeomorfo a la n -esfera. (Esto no muestra en el caso de variedades suaves que A sea difeomórfico a la n- esfera, y en algunas dimensiones, como 7, hay ejemplos de esferas exóticas A con inversas que no son difeomórficas a la n -esfera estándar . )
Estafa de Eilenberg
En álgebra, la suma utilizada en la estafa suele ser la suma directa de módulos sobre un anillo .
Ejemplo: Una aplicación típica de la estafa Eilenberg en álgebra es la prueba de que si A es un módulo proyectivo sobre un anillo R , entonces hay un módulo libre F con A ⊕ F ≅ F . [1] Para ver esto, elija un módulo B tal que A ⊕ B sea libre, lo que se puede hacer como A es proyectivo, y ponga
- F = B ⊕ A ⊕ B ⊕ A ⊕ B ⊕ ....
así que eso
- A ⊕ F = A ⊕ ( B ⊕ A ) ⊕ ( B ⊕ A ) ⊕ ... = ( A ⊕ B ) ⊕ ( A ⊕ B ) ⊕ ... ≅ F .
Ejemplo : ( Eisenbud 1995 , p.121) Los módulos libres finamente generados sobre anillos conmutativos R tienen un número natural bien definido como dimensión que es aditivo en sumas directas, y son isomorfos si y solo si tienen la misma dimensión. Esto es falso para algunos anillos no conmutativos, y se puede construir un contraejemplo usando la estafa de Eilenberg de la siguiente manera. Deje que X sea un grupo abeliano tales que X ≅ X ⊕ X (por ejemplo, la suma directa de un número infinito de copias de cualquier grupo abeliano distinto de cero), y dejar que R sea el anillo de endomorfismos de X . A continuación, la izquierda R -módulo R es isomorfo a la izquierda R -módulo R ⊕ R .
Ejemplo : ( Lam 2003 , ejercicio 8.16) Si A y B son cualquier grupo, entonces la estafa de Eilenberg puede usarse para construir un anillo R tal que los anillos de grupo R [ A ] y R [ B ] sean anillos isomórficos: tome R como el anillo de grupo del producto directo restringido de infinitamente muchas copias de A ⨯ B .
Otros ejemplos
La demostración del teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder podría verse como un antecedente de la estafa de Eilenberg-Mazur. De hecho, las ideas son bastante similares. Si hay inyecciones de conjuntos de X a Y y de Y a X , esto significa que formalmente tenemos X = Y + A e Y = X + B para algunos conjuntos A y B , donde + significa unión disjunta y = significa que hay una biyección entre dos conjuntos. Ampliando el primero con el segundo,
- X = X + A + B .
En esta biyección, sea Z los elementos del lado izquierdo que corresponden a un elemento de X en el lado derecho. Esta biyección luego se expande a la biyección.
- X = A + B + A + B + ... + Z .
Sustituir X por el lado derecho en Y = B + X da la biyección
- Y = B + A + B + A + ... + Z .
Cambiar cada par adyacente B + A produce
- Y = A + B + A + B + ... + Z .
Al componer la biyección de X con la inversa de la biyección de Y se obtiene
- X = Y .
Este argumento dependía de las biyecciones A + B = B + A y A + ( B + C ) = ( A + B ) + C , así como de la definición bien definida de la unión disjunta infinita.
Notas
Referencias
- Bass, Hyman (1963), "Los grandes módulos proyectivos son gratuitos" , Illinois Journal of Mathematics , 7 : 24–31, doi : 10.1215 / ijm / 1255637479 , MR 0143789
- Eisenbud, David (1995), álgebra conmutativa. Con miras a la geometría algebraica , Graduate Texts in Mathematics, 150 , Nueva York: Springer-Verlag, pp. Xvi + 785, doi : 10.1007 / 978-1-4612-5350-1 , ISBN 0-387-94268-8, MR 1322960
- Eklof, Paul C .; Mekler, Alan H. (2002), módulos casi libres: modelos de teoría de conjuntos , Elsevier, ISBN 0-444-50492-3
- Lam, Tsit-Yuen (2003), Ejercicios de teoría clásica de anillos , Nueva York, NY: Springer, ISBN 978-0-387-00500-3
- Lam, Tsit-Yuen (1999), Conferencias sobre módulos y anillos , Springer, ISBN 0-387-98428-3
- Mazur, Barry (1959), "Sobre la estructura de ciertos semigrupos de clases de nudos esféricos" , Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS , 3 : 19-27, doi : 10.1007 / bf02684388 , MR 0116347
- Mazur, Barry C. (1961), "Sobre incrustaciones de esferas", Acta Mathematica , 105 (1–2): 1–17, doi : 10.1007 / BF02559532 , MR 0125570
- Poénaru, Valentin (2007), "¿Qué es ... una estafa infinita?" (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 54 (5): 619–622, MR 2311984
- Rolfsen, Dale (1990), Nudos y enlaces. Reimpresión corregida del original de 1976. , Serie de conferencias de matemáticas, 7 , Houston, TX: Publish or Perish, Inc., págs. Xiv + 439, ISBN 0-914098-16-0, MR 1277811
enlaces externos
- Exposición de Terence Tao sobre la estafa de Mazur en topología