Paquete de Grassmann

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En geometría algebraica, el paquete de plano d de Grassmann de un paquete de vectores E en un esquema algebraico X es un esquema sobre X :

tal que la fibra es el Grassmanniano de los subespacios vectoriales d- dimensionales de . Por ejemplo, es el paquete proyectivo de E . En la otra dirección, un paquete de Grassmann es un caso especial de un paquete de banderas (parcial) . Concretamente, el paquete Grassmann se puede construir como un esquema de cotización .${\ Displaystyle p ^ {- 1} (x) = G_ {d} (E_ {x})}$${\ Displaystyle E_ {x}}$${\ Displaystyle G_ {1} (E) = \ mathbb {P} (E)}$

Como el Grassmannian habitual, el paquete Grassmann viene con paquetes de vectores naturales; es decir, hay un subconjunto universal o tautológico S y un cúmulo de cociente universal Q que encajan en

Específicamente, si V está en la fibra p ⁻¹ ( x ), entonces la fibra de S sobre V es la propia V ; por tanto, S tiene rango r = rk ( E ) y es el haz de líneas determinante . Ahora, por la propiedad universal de un paquete proyectivo, la inyección corresponde al morfismo sobre X :${\ Displaystyle \ wedge ^ {r} S}$${\ Displaystyle \ wedge ^ {r} S \ ap ^ {*} (\ wedge ^ {r} E)}$

que moralmente viene dada por la segunda forma fundamental . En el caso d = 1, se da de la siguiente manera: si V es un espacio vectorial de dimensión finita, entonces para cada línea en V que pasa por el origen (un punto de ), existe la identificación natural (ver Chern clase # Complejo espacio proyectivo por ejemplo):${\ Displaystyle l}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} (V)}$

y lo anterior es la versión familiar de esta identificación. (El cuidado general es una generalización de esto).

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