Para un esquema de tipo finito
sobre un esquema base noetheriano
, y una gavilla coherente
, hay un functor [2]
![{\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}:(Sch/S)^{op}\to {\text{Sets}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
enviando
a
![{\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}(T)=\left\{({\mathcal {F}},q):{\begin{matrix}{\mathcal {F}}\in {\text{Coh}}(X_{T})\\{\text{Supp}}({\mathcal {F}}){\text{ is proper over }}T\\{\mathcal {F}}{\text{ is flat over }}T\\q:{\mathcal {E}}_{T}\to {\mathcal {F}}{\text{ surjective}}\end{matrix}}\right\}/\sim }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
y
bajo la proyección
. Hay una relación de equivalencia dada por
si hay un isomorfismo
desplazarse con las dos proyecciones
; es decir,
![{\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {E}}_{T}&{\xrightarrow {q}}&{\mathcal {F}}\\\downarrow {}&&\downarrow \\{\mathcal {E}}_{T}&{\xrightarrow {q'}}&{\mathcal {F}}'\end{matrix}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es un diagrama conmutativo para
. Alternativamente, existe una condición equivalente de tenencia
. Esto se llama el " funtor quot", que tiene una estratificación natural en una unión disjunta de subfunctores, cada uno de los cuales está representado por un elemento proyectivo.
-esquema llamado esquema de cotización asociado a un polinomio de Hilbert
.
Polinomio de Hilbert
Para un paquete de líneas relativamente amplio
[3] y cualquier punto cerrado
hay una función
enviando
que es un polinomio para
. Esto se llama polinomio de Hilbert, que da una estratificación natural del funtor quot. De nuevo, por
fijo hay una unión disjunta de subfunctores
![{\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}=\coprod _{\Phi \in \mathbb {Q} [\lambda ]}{\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}^{\Phi ,{\mathcal {L}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
![{\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}^{\Phi ,{\mathcal {L}}}(T)=\left\{({\mathcal {F}},q)\in {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}(T):\Phi _{\mathcal {F}}=\Phi \right\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El polinomio de Hilbert
es el polinomio de Hilbert de
para puntos cerrados
. Tenga en cuenta que el polinomio de Hilbert es independiente de la elección de un conjunto de líneas muy amplio
.
Teorema de existencia de Grothendieck
Es un teorema de Grothendieck que los functores
son todos representables mediante esquemas proyectivos
encima
.
Grassmannian
El Grassmannian
de
-aviones en un
-el espacio vectorial dimensional tiene un cociente universal
![{\displaystyle {\mathcal {O}}_{G(n,k)}^{\oplus k}\to {\mathcal {U}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
es el
-plano representado por
. Desde
es localmente gratis y en cada punto representa un
-plano, tiene el polinomio de Hilbert constante
. Esta espectáculos
representa el functor quot
![{\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {O}}_{G(n,k)}^{\oplus (n)}/{\text{Spec}}(\mathbb {Z} )/{\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}^{k,{\mathcal {O}}_{G(n,k)}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Esquema de Hilbert
El esquema de Hilbert es un ejemplo especial del esquema de cotización. Observe un subesquema
se puede dar como una proyección
![{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{Z}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y una familia plana de tales proyecciones parametrizadas por un esquema
puede ser dado por
![{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X_{T}}\to {\mathcal {F}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Dado que hay un polinomio de hilbert asociado a
, denotado
, hay un isomorfismo de esquemas
![{\displaystyle {\text{Quot}}_{{\mathcal {O}}_{X}/X/S}^{\Phi _{Z}}\cong {\text{Hilb}}_{X/S}^{\Phi _{Z}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ejemplo de parametrización
Si
y
para un campo algebraicamente cerrado, luego una sección distinta de cero
tiene lugar de fuga
con polinomio de Hilbert
![{\displaystyle \Phi _{Z}(\lambda )={\binom {n+\lambda }{n}}-{\binom {n-d+\lambda }{n}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Entonces, hay una sobreyección
![{\displaystyle {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{Z}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
con kernel
. Desde
era una sección arbitraria distinta de cero, y el lugar de fuga de
por
da el mismo lugar de fuga, el esquema
da una parametrización natural de todas estas secciones. Hay una gavilla
en
tal que para cualquier
, hay un subesquema asociado
y sobreyección
. Esta construcción representa el functor quot
![{\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {O}}/\mathbb {P} ^{n}/{\text{Spec}}(k)}^{\Phi _{Z}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Cuadrículas en el plano proyectivo
Si
y
, el polinomio de Hilbert es
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{Z}(\lambda )&={\binom {2+\lambda }{2}}-{\binom {2-2+\lambda }{2}}\\&={\frac {(\lambda +2)(\lambda +1)}{2}}-{\frac {\lambda (\lambda -1)}{2}}\\&={\frac {\lambda ^{2}+3\lambda +2}{2}}-{\frac {\lambda ^{2}-\lambda }{2}}\\&={\frac {2\lambda +2}{2}}\\&=\lambda +1\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y
![{\displaystyle {\text{Quot}}_{{\mathcal {O}}/\mathbb {P} ^{2}/{\text{Spec}}(k)}^{\lambda +1}\cong \mathbb {P} (\Gamma ({\mathcal {O}}(2)))\cong \mathbb {P} ^{5}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El cociente universal sobre
es dado por
![{\displaystyle {\mathcal {O}}\to {\mathcal {U}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde la fibra sobre un punto
da el morfismo proyectivo
![{\displaystyle {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{Z}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Por ejemplo, si
representa los coeficientes de
![{\displaystyle f=a_{0}x^{2}+a_{1}xy+a_{2}xz+a_{3}y^{2}+a_{4}yz+a_{5}z^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
luego el cociente universal sobre
da la breve secuencia exacta
![{\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}(-2){\xrightarrow {f}}{\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{Z}\to 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Paquetes de vectores semiestables en una curva
Paquetes de vectores semiestables en una curva
de género
equivalentemente puede describirse como gavillas localmente libres de rango finito. Tales gavillas libres localmente
de rango
y grado
tienen las propiedades [4]
![{\displaystyle H^{1}(C,{\mathcal {F}})=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es generado por secciones globales
por
. Esto implica que hay una sobreyección
![{\displaystyle H^{0}(C,{\mathcal {F}})\otimes {\mathcal {O}}_{C}\cong {\mathcal {O}}_{C}^{\oplus N}\to {\mathcal {F}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Entonces, el esquema de cotización
parametriza todas esas sobreyecciones. Usando el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch, la dimensión
es igual a
![{\displaystyle \chi ({\mathcal {F}})=d+n(1-g)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Para un paquete de línea fija
de grado
hay una torsión
, cambiando el grado por
, entonces
[4]
dando el polinomio de Hilbert
![{\displaystyle \Phi _{\mathcal {F}}(\lambda )=n\lambda +d+n(1-g)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Entonces, el locus de los paquetes de vectores semiestables está contenido en
![{\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {O}}_{C}^{\oplus N}/{\mathcal {C}}/\mathbb {Z} }^{\Phi _{\mathcal {F}},{\mathcal {L}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
que se puede utilizar para construir el espacio de módulos
de paquetes de vectores semiestables utilizando un cociente GIT . [4]